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哥德巴赫猜想的定义证明法

范文

王海东

【摘要】我们从偶数、奇数和质数的定义可以得知：大于四的偶数不仅可以写成两个奇数之和，而且可以产生两种不同写法.其中一种写法就是与哥德巴赫猜想有关的写法.只要证明了这两种写法的存在，就为证明哥德巴赫猜想提供了一个十分重要的理论依据.

【关键词】偶数;奇数;质数;哥德巴赫猜想

有人曾经断言：哥德巴赫猜想只能用高等数学方法来证明，不能用初等数学方法来证明.这是一种毫无根据的错误看法.数学证明的检验标准是证明结果而不是证明方法.证明方法是否正确取决于证明结果是否正确.不管证明者使用了什么样的证明方法，只要由此产生的证明结果是正确的，这种证明方法就肯定是正确的.

哥德巴赫猜想问世两百多年一直没有得到证明.究其原因，也许就与这种错误看法的广泛存在有着密切关系.人们从这种错误看法出发，不仅会把哥德巴赫猜想的证明方法限制在某个数学领域之中，而且也无法找到证明哥德巴赫猜想的正确方法.

那么，怎样才能找到证明哥德巴赫猜想的正确方法呢？显然，人们要想找到证明哥德巴赫猜想的正确方法，就必须撇开高等数学和初等数学的门户之见，将偶数、奇数和质数的数学定义视为三个不需要证明的数学公理，从这三个数学公理中推出一组相互关联的数学定理，并将这组数学定理视为证明哥德巴赫猜想的所有理论依据.这种证明方法就是哥德巴赫猜想的定义证明法.

下面，我们就通过偶数、奇数和质数的数学定义来表述哥德巴赫猜想的定义证明法.

定义一：

可以被二整除的整数为偶数.

定义二：

不能被二整除的整数为奇数.

定义三：

只能被一和自身整除的整数为质数.

从定义一可以得知：

偶数与偶数相加等于偶数.

从定义二可以得知：

两个偶数相互加减一等于两个奇数.

从定义一和定义二可以推出定理一：

任何偶数都可以写成两个奇数之和.

从定理一可以推出定理二：

大于四的偶数不仅可以写成两个奇数之和，而且可以产生两种不同写法.一种写法包括一和可以被大于一的其他奇数整除的奇数.另一种写法不包括一和可以被大于一的其他奇数整除的奇数.

从加法运算的数学规则来看，只要两个奇数相加等于某个大于四的偶数，不管两者是否包括一和可以被大于一的其他奇数整除的奇数，都可以在和不变的条件下化为这个偶数的两个半数.

如果这个偶数的两个半数是两个偶数，就可以通过相互加减某个相同奇数的方法，使之化为既不是一又不能被大于一的其他奇数整除的奇数.如果这个偶数的两个半数是两个奇数，就可以通过相互加减某个相同偶数的方法，使之化为既不是一又不能被大于一的其他奇数整除的奇数.

所以，只要存在定理一，就肯定会存在定理二.

令a1和a2代表两个任意奇数，b1和b2代表两个既不是一又不能被大于一的其他奇数整除的奇数，m代表大于四的偶数，n代表大于或者等于零的整数，我们可以推出一组数学公式，并用这组数学公式来表述定理二：

已知

a1+a2=m

又知

m=b1+b2

b1=m2+n

b2=m2-n

n>0，b1>b2;n=0，b1=b2

因此

a1+a2=b1+b2

显然，这组数学公式隐含着一个问题.这个问题就是：b1和b2之间是否存在一个合适的n？如果b1和b2之间存在一个合适的n，这组数学公式就是成立的.如果b1和b2之间不存在一个合适的n，这组数学公式就是不成立的.

根据b1和b2的定义，我们可以用以下方法来回答这个问题：

已知

b1≥b2

又知

b1-b2=2n

（b1>b2，n>0;b1=b2，n=0）

因此

n=12（b1-b2）

这个结论表明：

只要存在着b1和b2，b1和b2之间就肯定会存在一个合适的n.这个合适的n就是b1和b2的差的半数.由于b1和b2是两个奇数，所以b1和b2的差肯定是一个偶数.这個偶数的半数可能是一个偶数，也可能是一个奇数.

乍一看，这个结论似有循环论证之嫌.先用n论证b1和b2的存在，再用b1和b2论证n的存在.

但是，第一个n与`第二个n有所不同.前者是指任意n，后者是指特定n.第一对b1和b2与第二对b1和b2也有所不同.前者是指任意b1和b2，后者是指特定b1和b2.

由于存在这两个区别，所以这个结论看似循环论证，实则并非循环论证.

从定义三可以得知：

质数既不包括大于二的偶数和小于三的奇数，也不包括可以被大于一的其他奇数整除的奇数.

从定义三可以推出定理三：

质数包括等于二和大于二的质数.前者代表具有质数性质的唯一偶数，后者代表具有质数性质的所有奇数.

从定理二和定理三可以推出定理四：

大于二的偶数包括等于四和大于四的偶数.前者可以写成两个等于二的质数之和，后者可以写成两个大于二的质数之和.

从定理四可以推出定理五：

任何大于二的偶数都可以写成两个质数之和.

定理五即哥德巴赫猜想.

证毕.

上述证明过程告诉我们：

由于质数既包括偶数又包括奇数，所以哥德巴赫猜想既包括偶数猜想又包括奇数猜想.偶数猜想就是与具有质数性质的唯一偶数有关的哥德巴赫猜想.奇数猜想就是与具有质数性质的所有奇数有关的哥德巴赫猜想.

由于偶数猜想可以通过定义三及定义一和定义二得到证明，所以证明偶数猜想不是证明哥德巴赫猜想的难点.由于奇数猜想不能通过定义三及定义一和定义二得到证明，所以证明奇数猜想才是证明哥德巴赫猜想的难点.

要想消除证明哥德巴赫猜想的難点，不仅必须从定义一和定义二推出定理一，而且必须从定理一推出定理二.要想从定理一推出定理二，不仅必须知道任何偶数都可以写成两个奇数之和，而且必须在大于四的偶数中找到两个奇数之和的两种不同写法.

因此，定理二是一个非常重要的定理，其重要性远远超过其他定理.只有定理一没有定理二，就无法发现定理一与定理五的内在联系.只有定理三没有定理二，就无法通过定理四使偶数猜想和奇数猜想同时得到证明.

由于定理二是一个非常重要的定理，所以证明哥德巴赫猜想的关键在于证明定理二.虽然证明了定理二不等于证明了哥德巴赫猜想，但是证明不了定理二就证明不了哥德巴赫猜想.

上述证明过程还告诉我们：

哥德巴赫猜想是一个初等数学问题，而不是一个高等数学问题.这个数学问题完全可以用初等数学方法来解决，没有必要用高等数学方法来解决.用高等数学方法来解决这个数学问题，纯属舍近求远徒劳无功之举.

例如，筛法是一种从自然数中筛出所有质数的、可以通过指数和估计对其进行分析的、涉及解析几何方法的高等数学方法.这种高等数学方法既没有区分包含在质数之中的偶数和奇数，也没有区分包含在哥德巴赫猜想之中的偶数猜想和奇数猜想.把筛法当作哥德巴赫猜想的证明方法，意味着试图用一种方法证明两种不同猜想.

由于包含在质数之中的偶数只有一个，所以用筛法证明偶数猜想是十分容易的.由于包含在质数之中的奇数有无数个，所以用筛法证明奇数猜想则是非常困难的.其困难主要在于：筛法只能把证明重点放在与奇数猜想有关的所有奇数上，而不能把证明重点放在与奇数猜想有关的偶数写法上.这就使我们无法通过定理二找到证明奇数猜想的正确途径.

由于筛法只能证明偶数猜想不能证明奇数猜想，因此用筛法证明哥德巴赫猜想是行不通的.这不是一条越走越近的证明道路，而是一条越走越远的证明道路.沿着这条证明道路向前走下去，即使可以走到1+2，也永远无法走到1+1.

1+2中的2代表两个质数的积.两个质数的积显然不是一个质数.这个答案不仅没有接近1+1，而且完全偏离了1+1.用这个答案来回答问题等于所答非所问.

【参考文献】

[1]王元，文兰，陈木法.数学大辞典：第二版[M].北京：科学出版社，2017.

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