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标题 裂项相消法求数列的前n项和
范文

    崔禹

    数列是高中数学一个非常重要的内容,数列求和是数列题目中的常见题型,公式法、错位相减法、裂项相消法等是数列求和的通用解法,其中裂项相消法是数列求和中的非常重要的方法.裂项相消法主要是把数列中的每一项分裂为两项或多项的形式,在后续的运算中相互抵消,从而实现数列求和.很多裂项相消的题目,数列通项会以分式的形式给出.在解题的过程中,需要根据具体的题目类型进行裂项,注意系数与计算最终的剩余项.

    一、分子、分母都是常数或者普通等差数列的分式类型

    这类问题最基本的裂项相消法求数列和,最简单、最易理解,也是高中数学中最常出现的.

    通过例3的解决,我们注意到裂项求和过程中,未必是相邻两项的前后分拆项相互抵消,有可能是隔项相互抵消,一定注意到最后剩余的项,一般而言,前面剩余几项,后面就会剩余几项.

    综上所述,在分式数列裂项相消求和过程中,一是注意分解项时要乘系数,二是最后求和过程中一定注意剩余的项.

    二、分子、分母为根式形式,可用分母有理化形式进行裂项

    裂项相消未必只解决非常简单的多项式分式裂项,对于一部分根式形式的数列分式也可以使用.

    例4 已知数列{an}的通项公式为an=1n+n+1,求数列{an}的前n项和.

    分析 本题目分母是两个根式,而这两个根式实际上是数列n的连续两项,所以可以用分母有理化的形式把an拆开裂项,从而实现抵消后求和.

    本题目是观察分子和分母之间的关联,主要在于分拆分母,构造分子,得到系数.

    在裂项求和的过程中,注意裂项的合理化,如果裂項不合理,会增加很多计算量甚至出错.

    【参考文献】

    [1]杨芳,王德刚.求数列通项公式的几种常见类型及其处理方法[J].中国校外教育(理论),2008(9):127.

    [2]司其君,李海燕.高考数列的热点题型[J].数理化学习(高三),2012(8):38.

    [3]吕长法.数列求和的常用方法[J].试题与研究,2014(20):5.

    [4]苏遂桃.由高考题看构造辅助数列求通项公式[J].中学生数理化(学研版),2015(8):141.

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更新时间:2025/3/14 21:31:41