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转化思想下分块三角形矩阵的教学案例设计

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何俊时文俊

【摘要】在不占用更多课时的前提下，将以主对角线为参照的2×2块分块下三角形矩阵作为基本的研究对象，基于转化思想对分块三角形矩阵逆矩阵的求法进行了教学设计，为线性代数课堂教学提供了有益的借鉴.

【关键词】转化思想;分块三角形矩阵;教学设计

【基金项目】河南省高等学校青年骨干教师项目（2017GGJS193），混合式课程项目《线性代数》（SDHHSKC-2018-A08）

真正的数学教育，是学生离开了学校多年以后还能记得的东西.那一定不是某个定理公式或解题技巧，而是数学内涵之美给予学生的启迪.法国数学家庞加莱指出：“数学美的内涵可概括为：协调性、统一性、简单性、对称性和奇异性.”数学的美，虽不像动态的音乐那么悦耳，但在“转化思想”下也能奏出美妙灵动的音符.“转化思想”是数学解决问题的基本思想，即将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.在微积分、线性代数、概率论与数理统计等大学数学理论中无不渗透着转化思想.常见的转化方式有：复杂到简单的转化，一般到特殊的转化，特殊到一般的转化，未知到已知的转化，陌生到熟悉的转化等. 教学中，教师不要直接把理论结果呈现给学生，要引导学生进行“火热的思考”，体验“转化思想”的灵动之美，将数学解决问题的基本思想慢慢渗透给学生，将 “一堆”的数学符号、数学公式及“繁琐”的推理证明，还原为一段段喜怒哀乐的心境，升华为一种数学素养.本文基于“转化思想”对分块三角形矩阵的逆矩阵的求法进行了教学案例设计，以期抛砖引玉.

1?主对角线分块三角形矩阵

在吴赣昌主编的《线性代数》教材§2.4分块矩阵中，简明地给出了分块三角形矩阵的概念，直接给出了s×s块分块对角阵的性质，学生觉得非常突兀，常常会被那一堆的数学符号、数学公式搞得晕头转向.分块矩阵用得好可以使计算简化，但分块矩阵的问题比较复杂，关键是应该怎么分块，大多数学生是搞不清楚的. 很多学生因为矩阵分块把本来能够做对的题目也做错了，有点事与愿违.事实上，手算的矩阵题目，矩阵的规模都不会很大，没有必要分块;实际应用时，矩阵运算都是由计算机完成的，也没有必要分块.所以，对分块矩阵的逆矩阵的学习，教师在授课时，要本着“重思想轻计算，重方法轻识记”的宗旨，在不占用更多课时的前提下，合理地设计教学案例，抓住最基本的研究对象主对角线2×2块分块下三角形矩阵展开讨论，再将基本的对象特殊化到2×2块分块对角阵，然后再推广到s×s块分块对角阵.

1.1?主对角线分块下三角形矩阵

案例1??对于主对角线分块下三角形矩阵H=AOCB，其中A为t阶矩阵，B为k阶矩阵.

转化分析?问题（1）【一分为二】教师要分析求|H|的突破口，考虑到H为抽象矩阵，用定义、化三角方法计算其行列式显然不合适，但有一个子块为O矩阵，可考虑用降阶定理.但是，即使选择零最多的列进行展开，由于B的存在，仍然具有困难.如果将B特殊化为单位矩阵便可以采用降阶定理.据此，根据分块矩阵的乘法将H一分为二，转化成

问题（1）解决的关键是将复杂的行列式转化到简单的行列式的计算上来.

问题（2）【追根溯源】在§2.3中学习的伴随矩阵法求逆具有非常大的局限性，从运算量的角度来看，只适合二、三阶矩阵求逆.对于高阶矩阵H并不适用，我们可以追溯逆矩阵的定义，只要能得到一个矩阵与H相乘为单位矩阵即可.据此，采用正向思维设H-1=X11X12X21X22，由HH-1=E，建立矩阵方程组

问题（2）解决的关键是将直接求H-1的问题转化到间接去求一个与H相乘为单位矩阵的矩阵上来.

1.2?主对角线为参照的分块上三角形矩阵

案例2?对于2×2块分块上三角形矩阵ACOB，其中A为t阶矩阵，B为k阶矩阵.

（1）求ACOB;

（2）当A，B都可逆时，求ACOB-1.

转化分析?对于案例2完全可以照搬案例1的方法，但是考虑到上三角形和下三角形从形式上就是转置的关系，可以利用分块矩阵的转置运算、行列式的性质以及矩阵逆运算的性质将2×2块分块上三角形矩阵转化为2×2块分块下三角形矩阵，借用案例1已经得出的结论进行计算.具体做法如下：

案例2解决问题的关键是抓住未知问题与已知问题的关系，将未知问题转化为已知问题，套用已知问题的现有结论展开研究，有事半功倍之效.

2?副对角线分块三角形矩阵

案例3?对于副对角线2×2块分块下三角形矩阵OABC，其中A为t阶矩阵，B为k阶矩阵.

（1）求OABC;

（2）当A，B都可逆时，求OABC-1.

转化分析?对于案例3同样可以照搬案例1的方法，但事实上副对角线分块下三角形矩阵OABC只需要作若干次列交换就会转化成主对角线分块下三角形矩阵AOCB.

问题（1）【心中有数】利用行列式交换两行（列）变号的性质，关键是计算出列交换的次数即可. 将A的第1列所在的列逐一和B所在的列进行邻换，需要k次交换，A有t列，故OABC→AOCB，需要做tk次交换，故

问题（2）【意犹未尽】事实上，根据§2.5矩阵的初等变换中的定理2及定理3，由OABC做tk次关于列的初等互换变换得AOCB，所以必存在可逆矩阵P，且P为tk个初等互换矩阵的乘积，即

（3）利用分块矩阵的转置运算、行列式的性质以及矩阵逆运算的性质将2×2块分块下三角形矩阵转化为2×2块分块上三角形矩阵，进而得到以下结论，即

这种基于转化思想的讲授方法，能够迅速且巧妙地缩短新旧问题之间的距离，激发学生学习新知识的强烈愿望，提高课堂的教学效率，达到理想的教学效果.不仅可以保证教师轻松愉悦地完成本次课的教学任务，而且可以加深学生对前段学习的基本概念、基本方法、基本性質的理解.其中，利用行列式定理将研究对象“一分为二”是间接计算行列式的重要方法;利用§2.3定理1的推论1“追本溯源”是求逆矩阵的基本思路;将分块三角形矩阵特殊化，可以得到分块对角阵的相应结论，达到“一举两得”之效;将2×2 块分块对角阵的结论“乘胜追击”便可以推广到s×s块分块对角阵，达到“开枝散叶”之效;抓住新旧问题的关联，巧用转置，将2×2块分块下三角形矩阵转化为2×2块分块上三角形矩阵，新问题“迎刃而解”，学生在教师的引导下感知“柳暗花明”的“转化”之美;激发学生“转化思想”的意识，引导学生探索如何将“副对角线分块三角形矩阵”转化为“主对角线分块三角形矩阵”，让学生亲身感受“转化思想”的灵动之美.

教学实践表明，对于案例3的问题（1），学生可以抓住问题的关键，就是利用行列式交换两行变号的性质完成转化，计算出交换的次数，做到“心中有数”即可.对于案例3的问题（2），学生探索的热情高涨，利用转化解决问题的想法意犹未尽，绝大部分同学都开始了积极的思考，教师可以顺水推舟地提醒学生§2.5矩阵的初等变换可以助他们“一臂之力”.基于“转化思想”的教学设计，不仅要起到“承上启下”的作用，而且在课堂教学中教师要做到“三要一不要”.一要通过巧妙启发引导学生进行“转化”，激发学生的“转化”意识.二要通过生动的表达让学生感知“转化”，增强学生的转化思维.三要通过严谨的推理让学生体验“转化”，提高学生的转化能力.切记不要将简单的问题复杂化.

【参考文献】

[1]吴赣昌. 线性代数[M]. 北京：中国人民大学出版社，2017.

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