| 标题 | 量纲分析法 |
| 范文 | 殷末之 摘要：量纲分析法（dimensional analysis）或许对国内的理工科的大学生来说并不熟悉。然而，在剑桥大学工程系的第一堂课就是量纲分析，因为它的应用太广泛而且很方便。这种方法不需要任何物理概念，只通过分析各个物理量的单位，建模，利用比例就可以准确地解决工程上的很多复杂的计算。 关键词：量纲分析法；物理量单位；建模与比例 Dimensional Analysis – the underrated scientific method Yin Mo-zhi ( the University of Cambridge ) Abstract：The method of dimensional analysis may sound unfamiliar to science and engineering students in China; it is widely used and highly regarded here in Cambridge. In fact, dimensional analysis the first lesson we learned in the engineering course. The magic of dimensional analysis is that you dont need to have any prior knowledge of physics. Just by analyzing the dimension of each physical quantity, building an appropriate model and using simple calculation with ratio, we will be able to solve complicated engineering problems. Key words: Dimensional analysis； physical quantity ；model and ratio 1．引言 在剑桥大学一直流传着这样一个故事：在第二次世界大战后，美国人一直为研发原子弹而沾沾自喜，并向他们的盟国吹嘘，但又千方百计对原子弹试验的数据保密。于是，他们在各大官方杂志上公开了原子弹试验爆炸的蘑菇云的照片，但对其中的细节，尤其是原子弹的能量输出闭口不谈。而当剑桥数学系的教授，杰弗里?泰勒博士看到这些照片时，他发现可以通过简单的量纲分析，通过比例，来计算实际爆炸的能量输出。他开心地把计算过程寄给时代杂志，而令他吃惊的事，第二天凌晨三点，一群表情严肃的美国政府官员登门拜访，并且质问他怎么获得内部信息。泰勒博士一点也不着急，把这些远道而来的美国先生请进学院里，然后给他们上了堂量纲分析的课。 量纲分析在国内大学不是一门重点的理工课程，但是量纲分析实际上是一种简单而强有力的科学方法。分析一个工程问题时，可以先罗列问题中所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程（dimensionless groups），然后直接通过比例进行计算，可以省却应用大量的任何物理定律和中间过程。正是因为量纲分析的极强的实用，这门课是剑桥工程系的本科第一年的第一堂课，整个工程学科的起点。 2．量纲分析在实际中的运用 2．1利用量纲分析简化计算 例1：作用在一个在匀速直线飞行的飞机上的升力记为F，而F的大小取决于： 1） 飞机的航行速度v， 2） 声速c， 3） 机翼的面积为A， 4） 空气密度 ρ 要计算作用在一架波音747上的升力F，只需要通过量纲分析，而不需要知道具体的流体力学的公式。具体方法是制作一个1/100的波音747的模型，然后在风洞中进行试验。在模拟试验中，声速为340m/s，气体密度为1.225kg/m3，升力为1.2kN。而实际的波音747的航行速度为252m/s，高空的声速为298m/s，气体密度为0.388m/s。通过以上数据，可以得到下面这个表格： 数据 符号 单位 量纲 航速 v m/s LT-1 声速 c m/s LT-1 机翼面积 A m2 L2 气体密度 ρ kg/m3 ML-3 升力 F N MLT-2 最后一列就是这些物理量的量纲，用M（质量mass），L（长度length）和T（时间time）的组合来表示。比如速度是长度除以时间，其量纲即为LT-1。而升力是N，也可以表示为kgm/s2，kg是质量，m是长度，s是时间，量纲为MLT-2。 下一步就是应用Buckingham 定理来计算无量纲数组的数目。如表格所示，一共有5组数据，3个量纲（即M，L，T）。而无量纲数组的数目就是5-3 = 2个。而通过观察，这两个没有单位的数组是{ }和{ }（可以看出两个无量纲数组的分子与分母的量纲相同）。这两组无量纲数组的意义在于对于实际的波音747和1/100的模型， 和 的值是相同的。于是波音747的升力为： （ ）实际=（ ）模型 = 2.9MN 可以看到以上计算没有运用任何物理定律，这也正是量纲分析的魅力所在：通过建模，用最直接的方法，最简单的计算解决复杂的问题。 2．2利用量纲分析实验为实际工程问题建模 再举一个我在实验室做的量纲分析的试验：对于三角堰，可以利用量纲分析来计算水流速度。下图是实验室里的堤坝的模型：将水抽上中间的玻璃管道后，水会通过V字型的堰口（如图2所示）流向右边的水库（如图3所示），而通过测量水库内储水的高度变化，便可以测量水流速度。 图1 图2 图3 首先列举可能和水流速度有关的物理量： 数据 符号 单位 量纲 水流速度 Q m3s-1 L3T-1 上游水深 d m L 三角堰的高度 h0 m L 上游水深与三角堰的高度差 h m L 流体密度 ρ kgm-3 ML-3 流体黏性 μ kgm-1s-1 ML-1T-1 流体表面张力 б kgs-2 MT-2 三角堰角度 Ф 度 --- 重力加速度 g ms-2 LT-2 通过观察表格，可以看出来要计算的Q的量纲只包括L和T，因此，可以先猜测Q的大小只和量纲包括L和T的物理量有关。而h = d - h0（如图4所示），应该只有高度差对流量有影响。因此影响Q的只有h，Ф，g。当然这只是猜测，需要进行试验来证实猜测是否成立。 现在只有4个数据，2个量纲（即L和T），应用Buckingham定理，无量纲数组的数目为4-2 = 2个。而通过 观察，这两个没有单位的数组是{ }和 Ф。 下表是在实验室进行试验时的数据：通过调节上游的水深，已达到控制变量的效果。 三角堰的高度 h0 = 108.3mm 储水箱的横截面A = 2715cm2 通过观察表格的最后一列数据，可以发现无量纲数组的值基本是保持不变的。只是在上游水深与三角堰的高度差较小时这个值误差较大，这是因为高度差小的时候水流的表面张力作 用力变大，因此导致误差。然后，可以确定无量纲数组 在多数情况下是恒定的，即Q的大小只和h，g和 Ф有关。这个试验的意义是可以利用量纲分析，来估算现实生活中的一个几何相似的三角堰的水流速度（如图4，图5，图6）。只需要测量h的值，便可以估算Q的值了。 图4图5 图6 图7 2．3利用量纲分析巧妙解决已知条件不够的问题 利用量纲分析解决不可思议的谜团的故事，还远远不止于此。再举一个我的教授，休?亨特博士，的例子：他利用量纲分析计算了二战时英国皇家空军在1943年5月对德国鲁尔区水坝使用的弹跳炸弹所使用的火药量并且重现了整个原本被历史遗忘的过程。 图7就是弹跳炸弹的工作原理，炸弹在水上弹跳数次并最终击中大坝。休?亨特博士在康河上制作了一个只有10米的相似的大坝，并且仅仅通过量纲分析计算了1943年所使用的炸弹的质量。为了证明他的计算的正确性，他还亲自租了架古老的滑翔机，绑上炸弹，并在加拿大的英属哥伦比亚的一条河上空60英尺丢下炸弹，成功地摧毁了一个他自己建造的130英尺宽的大坝。 读到这里，相信大家也明白当时泰勒教授是如何解决原子弹的能量输出的问题了。他仅仅利用美国人发表的原子弹爆炸的照片作为模型，利用蘑菇云升起的高度和直径，揭开了奥秘。 3．结束语 可以看出来，量纲分析可以广泛地应用在工程的各个领域。然而国内大学里关于量纲分析似乎没有怎么涉及，这个被忽略的方法有时候是最简单而巧妙的方法。 参考文献 [1] 图4来源于互联网 www.flyforums.co.uk/166723-post37.html: [2] 图5来源于互联网www.hydrocad.net/weir2.htm [3] 图6来源于互联网 www.hubbardbrook.org/w6_tour/weir-stop/weirwork.htm [4] 图7来源于互联网 www.chm.bris.ac.uk/webprojects2001/moorcraft.htm _____________________ 【文章编号】1627-6868（2013）03-0026-03 |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。