《2020年上海市松江区高三数学一模不等式小题的思考》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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2020年上海市松江区高三数学一模不等式小题的思考

范文

毕妍妍

【摘要】均值不等式一直是高考经常考查的重点和热点，在解这一类题时要注意“拆，凑，拼”等技巧，特别要注意“一正二定三相等”的条件，缺一不可.本文以一道2020年上海市松江区高三数学一模中的不等式填空题为例，给出其多种解法，引导学生发散思维.在对问题求解时，可以考虑消元或构造的方式去入手，同时等号成立的条件必须要验证.另外，本文还列举了几道高中数学竞赛试题，以此说明均值不等式的妙用.不等式题目能够考查学生对于基本知识的观察能力和灵活运用能力，引导学生自主分析问题，进而解决问题，培养学生数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.

【关键词】不等式;均值不等式;最值;一题多解

对于高中数学教师来说，每年的高三数学一模试题都是必做的，这样可以帮助老师们及时了解和掌握最新的命题趋势和热门考点.不等式问题也一直是高中数学试题中的热点和重点，特别是与二元均值不等式相关的问题.题海无边，这需要老师和学生对典型题目要进行思考和分析，及时总结归纳，学会一题多解，掌握变式题型.本文对2020年上海市松江区高三数学一模中的不等式填空题做了一些思考，仅供读者参考和借鉴.

先呈现这道试题如下：

（2020 年松江高三一模11题）若实数a，b>0，满足abc=a+b+c，a2+b2=1，则实数c的最小值为.

本题是上海市松江区高三数学一模第11题，属于填空题中的压轴题，但本题方法多种，可供学生选择的余地非常大.

解法一（函数与方程思想）

由于abc=a+b+c，可得c=a+bab-1.

根据（a+b）2≤2（a2+b2）=2，可知0

再根据2ab≤a2+b2=1，

又可知ab-1≤-12，-2≤1ab-1<0，

因而-22≤a+bab-1<0.

综上，可得cmin=-22，此时a=b=22.

解法二（均值不等式法）

同解法一，得c=a+bab-1.

由于a，b>0，进一步可得c=a+bab-1≥2abab-1=2ab-1ab，

等号成立当且仅当a=b=22.

下面令t=ab，f（t）=2t-1t，

由于2ab≤a2+b2=1，因而t∈0，22.

由f（t）=2t-1t在t∈0，22上單调递减，因而f（t）min=f22=-22.

综上，可得cmin=-22，此时a=b=22.

解法三（均值不等式法）

同解法一，得c=a+bab-1.

由于a，b>0，进一步可得

c[ZK（]=a+bab-1=a+b3ab-（a+b）2

≥a+b34（a+b）2-（a+b）2=-4（a+b）（a+b）2=-4a+b.[ZK）]

当然此处也可以进行如下变形：

c=a+bab-1≥a+b（a+b）24-1=1a+b4-1a+b，

等号成立当且仅当a=b=22.

由于0

综上，可得cmin=-22，此时a=b=22.

解法四（参数方程法）

令a=sin θ，b=cos θ，其中θ∈0，π2，

则c=a+bab-1=sin θ+cos θsin θcos θ-1.

下令t=sin θ+cos θ=2sin θ+π4，

由于θ+π4∈π4，3π4，因而t∈（1，2].

sin θcos θ=sin θ+cos θ2-12=t2-12，

因而c=f（t）=tt2-12-1=2tt2-3=2t-3t，t∈（1，2].

由于函数f（t）在t∈（1，2]上单调递减，因而cmin=f（2）=-22.

解法五（拉格朗日函数法）

由于abc=a+b+c，可得c=a+bab-1.

构造拉格朗日函数L（a，b，λ）=a+bab-1+λ（a2+b2-1）.

下面对L（a，b，λ）分别求关于a，b，λ的一阶偏导，并分别令其等于零，可得

L′a=（ab-1）-（a+b）b（ab-1）2+2λa=0，L′b=（ab-1）-（a+b）a（ab-1）2+2λb=0，L′λ=a2+b2-1=0，

由于a，b>0，解得a=b=22，λ=32.

这就是拉格朗日函数的稳定点，可得此点为函数的最小值点，即c的最小值为-22.

[STHZ]变式推广[STBZ] 若实数a，b，k>0，满足abc=a+b+c，a2+b2=k2，求k的取值范围，使得实数c能取得最小值，并求其最小值.

解析（三角换元）

令a=ksin θ，b=kcos θ，其中θ∈0，π2，

则c=a+bab-1=ksin θ+kcos θk2sin θcos θ-1.

下令t=sin θ+cos θ=2sin θ+π4，

由于θ+π4∈π4，3π4，因而t∈（1，2].

sin θcos θ=sin θ+cos θ2-12=t2-12，

因而c=f（t）=ktk2·t2-12-1=2ktk2t2-k2+2=2kk2t-k2+2t，t∈（1，2].

令g（t）=k2t-k2+2t，

当0

g（t）<0且严格单调递增，其中gk2+2k=0，

当k2+2k0且严格单调递增.

先考虑f（t）=2kg（t），当00且严格单调递减.

由于t∈（1，2]，若使得f（t）有最小值，只要2

解得0

综上可得，仅当0

与均值不等式相关的题目在高中数学联赛中也频频出现，一直也是常考常新.下面列举两例不等式试题.

题目如下：

1.（2011年高联一试3）设a，b为正实数，1a+1b≤22，（a-b）2=4（ab）3，则logab=.

解析根据1a+1b≤22，可得a+b≤22ab.

由于（a+b）2[ZK（]=4ab+（a-b）2=4ab+4（ab）3≥4×2ab·（ab）3=8（ab）2，[ZK）]

即a+b≥22ab，等号成立当且仅当a=b.

综上可得a+b=22ab.

进一步解得a=2-1，b=2+1或a=2+1b=2-1，故logab=-1.

2.（2015年高联一试9）若实数a，b，c满足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

解析（换元）令x=2a>0，y=2b>0，z=2c>0，

则条件变为x+y2=z，x2+y=z2.

进一步可得z2-y=x2=z-y22=z2-2zy2+y4，

因而z=y4+y2y2.

利用三元均值不等式可得，

z[ZK（]=y4+y2y2=12y2+12y+12y≥12×33y2·12y·12y=3432，[ZK）]

等號成立当且仅当y2=12y=12y，即y=132.

因而，cmin=log2zmin=log23432=log23-53.

在2020年的高中联考，各省也出现了一些与均值不等式相关联的题目，下面列举一例.

（2020年甘肃高联预赛9）已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为.

解析本题需要构造系数使得等式成立.

x+2y[ZK（]=122x+y+32y+1-32

=122x+y+32y+112x+y+1y+1-32=122x+yy+1+32y+12x+y+12≥2122x+yy+1·32y+12x+y+1[]2=3+12，[ZK）]

等号成立当且仅当122x+yy+1=32y+12x+y，

即x=12+33，y=33.

一直以来，均值不等式都是高考考查的重点和热点，在使用时要注意“拆，凑，拼”等技巧，特别要注意“一正二定三相等”的条件，缺一不可.在对问题求解时，可以考虑消元或构造的方式入手，同时等号成立必须进行验证.不等式题目能够考查学生对于基本知识的观察能力和灵活运用能力，引导学生自主分析问题，进而解决问题，培养学生数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.

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