标题 | 由两道例题引出抛物线焦点弦的一系列相关性质 |
范文 | 任红玉 程国忠 【摘要】本文结合课本例题的求解,通过一系列的深入思考,帮助学生更好地理解抛物线焦点弦的相关性质,更好地培养学生的数学核心素养. 【关键词】 例题;抛物线;焦点弦;数形结合;核心素养 课本中例题教学的目的绝不仅仅是教会学生例题本身的解答,而是要通过挖掘例题中丰富的内涵以及对例题的再创造,引发学生思考,培养学生的逻辑推理能力.教师引导学生在思考过程中,通过数形结合的思想方法建立数与形的联系,借助几何直观把复杂的数学问题简明化、形象化,培养学生的直观想象能力,与学生一起发现和总结性质,让学生了解到性质的来龙去脉,更好地培养学生的数学核心素养. 例1 (人教版高中数学選修2-1P69例题的一般形式)斜率为k的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解析 方法一:求出直线l的方程后与抛物线的方程联立,求出A,B两点的坐标,利用两点间的距离公式可以求出|AB|. 方法二:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),过A作AA′⊥准线于A′,过B作BB′⊥准线于B′.由抛物线的第二定义得:AF=AA′=x1+p2.同理BF=BB′=x2+p2.于是得:|AB|=AF+BF=x1+x2+p. 思考1 在方法一中若将直线l的斜率用tan θ来表示(θ是直线的倾斜角),则 当θ≠π2时,设直线l的方程为x=ycot θ+p2,由x=ycot θ+p2,y2=2px 得y2-2pycot θ-p2=0,由韦达定理得:y1+y2=2pcot θ,y1·y2=-p2,故|AB|= 1+cot2θy1-y2=2psin 2θ,且S△AOB=12OFy1-y2=p22sin θ,于是有: 性质1 x1x2=p24,y1y2=-p2. 性质2 |AB|=2psin 2θ. 性质3 S△AOB=p22sin θ. 思考2 因为AF=x1+p2,所以以AF为直径的圆的圆心坐标为AF的中点,其坐标为x12+p4,y12,所以圆心到y轴的距离为x12+p4=12AF,得出性质4. 性质4 以焦半径AF为直径的圆与y轴相切,以焦半径BF为直径的圆与y轴相切. 思考3 过F作FZ⊥AA′于Z(如图1),有|AZ|=|AF|cos θ,即 AF=AZ+A′Z=AFcos θ+p,得AF=p1-cos θ,同理得BF=p1+cos θ. 性质5 AF=p1-cos θ,BF=p1+cos θ. 思考4 若焦比AFBF=1+cos θ1-cos θ=γ,则cos θ=γ-1γ+1,故sin θ=2γγ+1,tan θ=k=2γγ-1,所以有|AB|=2psin 2θ=p2γ+1γ2,S△AOB=p22sin θ=p24γ+1γ.于是得出性质6. 性质6 若AFBF=γ(γ>1),则: ①k=2γγ-1; ②|AB|=p2γ+1γ2; ③S△AOB=p24γ+1γ. 例2 (人教版高中数学选修2-1P70)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. 解析 以抛物线y2=2px为例,求出点D的纵坐标为yD=-p2y1=yB,即得证.(点D与点B′重合,如图2) 性质7 A,O,B′三点共线,B,O,A′三点共线. 思考5 因为kOA=2py1,kOB=2py2,所以kOA·kOB=2py1·2py2=4p2y1y2=4p2-p2=-4,得出性质8. 性质8 kOA·kOB=-4. 思考6 连接A′F,B′F.因为A′-p2,y1,B′-p2,y2,所以A′F=(p,-y1),B′F=(p,-y2),即A′F·B′F=p2+y1y2=0,则A′F⊥B′F,从而可得出性质9. 性质9 以A′B′为直径的圆与AB相切于点F. 【变式】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线,两切线的交点为M′,如图3,则直线MM′∥x轴. 解析 同样以抛物线y2=2px为例,易知直线AM′:y1y=px+y212,直线BM′:y2y=px+y222,两直线联立得M′点坐标为-p2,y1+y22,因为M点的纵坐标也为y1+y22,所以MM′∥x轴.(如图3) 思考7 因为M′的横坐标为-p2,所以点M′在抛物线的准线上,得出性质10. 性质10 过抛物线上两点A,B作抛物线的切线相交于M′,若M′在准线上,则直线AB必过抛物线的焦点F.(反之,过抛物线上两点A,B作抛物线的切线相交于M′,若直线AB过抛物线的焦点F,则M′在抛物线的准线上) 思考8 因为M′的纵坐标为y1+y22,所以点M′是线段A′B′的中点,即MM′是梯形AA′B′B的中位线,如图3,则MM′=AA′+|BB′|2=AF+|BF|2=|AB|2,得出性质11. 性质11 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,且切点为M′. 思考9 以AB为直径的圆的直径AB所对的圆周角为90°,则∠AM′B=90°,即AM′⊥BM′. 性质12 过抛物线焦点弦两端点A,B的两切线垂直. 思考10 连接M′F,FM′=-p,y1+y22,AB=y222p-y212p,y2-y1=y2+y1y2-y12p,y2-y1,则有FM′·AB=0,即M′F⊥AB,得出性质13. 性质13 以AM′为直径的圆必过焦点F,以BM′为直径的圆必过焦点F. 思考11 连接A′F,B′F,kAM′=p(y1-y2)p2+y21=py1,kA′F=-y1p,则kAM′·kA′F=-1,同理kBM′·kB′F=-1,即AM′⊥A′F,BM′⊥B′F,得出性质14. 性质14 A,F,M′,A′四点共圆,B,F,M′,B′四点共圆. 思考12 直线AM′的方程为y=py1x+y12,且直线A′F的方程为y=-y1px+y12,即AM′与A′F的交点R的坐标为0,y12;同理,BM′与B′F的交点S的坐标为0,y22.得出性质15. 性质15 AM′,y轴,A′F三线共点于R,且R平分A′F和OA″A″是AA′与y轴的交点).BM′,y轴,B′F三线共点于S,且S平分B′F和OB″B″是BB′与y轴的交点). 思考13 因为kAM′=py1,kB′F=-y2p=py1,所以 AM′∥B′F,即M′R∥SF,同理M′S∥RF,则四边形M′SFR是平行四边形,又AM′⊥A′F,所以四边形M′SFR是矩形. 性质16 AM′∥B′F、BM′∥A′F,且四边形M′SFR是矩形. |
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