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浅谈“三角形边角互化”问题

范文

程晓红

【摘要】本文研究了边角互化问题中的如何选择统一化为边或角的问题.本文通过对简单例题进行分析归纳总结出边角互化问题的方法：首先判断题目中的信息是否包含两个及两个以上的平方项（其中形如a2，sin2A，asinA均属平方项），若包含两个及两个以上平方项将题目中的信息统一化为边，否则将题目中的信息统一化为角.并利用例题验证了结论的可行性.

【关键词】正弦定理;余弦定理;解三角形;边角互化

解三角形是高考的必考和重点考查内容，并逐渐成为三角函数部分的核心考点.其中，主要题型包括三类：一是求三角形的边或角;二是三角形形状的判定;三是最值问题.解决这类问题，一般都是统一化为边或统一化为角，那么怎样确定化为边还是化为角呢？这就是本文所要探讨的问题.

一、知识点总结

（一）正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R（2R为△ABC的外接圆直径）.

（二）余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC（已知两边a，b及夹角C求第三边c）.

cosC=a2+b2-c22ab（已知三边求角）.

二、探究规律方法

类型一：转为边

例1 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a2-b2=3bc，sinC=23sinB，求角A的大小.

解 ∵sinC=23sinB，由正弦定理可得c=23b.

又∵a2-b2=3bc，由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3b+23b2b=32，

∴A=π6.

例2 在△ABC中，角A，B，C所对的长分别为a，b，c，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是_______.

解 ∵sin2A+sin2B<sin2C，

由正弦定理可得a2+b2<c2，

由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0，

∴△ABC为钝角三角形.

例3 在△ABC中，角A，B，C所对的长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，求cosC的最小值.

解 cosC=a2+b2-c22ab=c22ab.又∵2ab≤a2+b2=2c2，

∴cosC=c22ab≥c22c2=12，∴（cosC）min=12.

观察以上三个例题，包含解三角形中的三类题型：求角或边;判断三角形形状;最值问题.分析以上三个例题，可以看到在题目所给出的条件中，均含有两个或两个以上的平方项，而在解题的过程中，均为利用正、余弦定理将题目中的信息统一化为边并利用余弦定理求解.

类型二：转为角

例4 在△ABC中，bcosA+acosB=2ccosC，求角C的值.

解 ∵bcosA+acosB=2ccosC，

由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，

∴sin（A+B）=sin2C，

∴A+B=2C或A+B+2C=180°（舍去），∴C=π3.

例5 设△ABC的内角A，B，C所对的长分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，判断△ABC的形状.

解由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，

∴sin（B+C）=sinAsinA，∴sinA=sinAsinA，

∴A=π2，∴△ABC的形状为直角三角形.

观察例4、例5两个例题，包含两类问题判断三角形问题以及三角化简问题.分析这两个例题，可以看到在题目所给出的条件中，并没有含两个或两个以上的平方项，而在解题的过程中，均为利用正、余弦定理将题目中的信息统一化为角并利用三角函数求解.

三、规律方法总结及应用

根据以上分析，将边角转化方法总结如下：

判断题目中的信息是否包含两个及两个以上的平方项（其中形如a2，sin2A，asinA均属平方项）否

将题目中的边利用正弦定理统一化为正弦（角）

是

将题目中的正弦利用正弦定理统一化为边

利用三角函数求解

利用余弦定理求解

这类方法适用于大部分边角互化问题中，而在较为复杂的三角互化问题中更能体现它的优势，而在具体问题中可以多次使用此方法，使每一步清晰明了，使复杂问题简单化.

例6 设△ABC的内角A，B，C所对的长分别为a，b，c，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）sin（A+B），判断三角形形状.

解析 ∵（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）sin（A+B），

∴a2[sin（A-B）-sin（A+B）]=b2[-sin（A-B）-sin（A+B）]，

∴2a2sinBcosA=2b2sinAcosB（等式中存在两个平方项，正弦化为边），

∴2a2bcosA=2b2acosB，

∴acosA=bcosB（等式中不存在平方項，边化为正弦），

∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，

∴A=B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

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