| 标题 | 注重数学思想方法的高等数学教学实践与思考 |
| 范文 | 唐玉霞 摘要:本文从高等数学教育改革的角度,首先阐述了数学思想方法的类型,并分析了高等数学思想方法的特征,最后提出了加强数学思想方法教学的几点建议。 关键词:数学思想方法高等数学教学 一、数学思想方法的分类 数学方法是以数学为工具,进行科学研究的过程中,所采用的各种方式、手段、途径等,其中包括变换数学形式等。笔者认为,数学方法就是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略。 (一)从接受的难易程度的角度可分为三个层次:一是基本具体的数学方法,如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等;二是科学的逻辑方法,如观察、归纳、类比、抽象概括等方法,以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法;三是数学思想,如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。 (二)数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如,胡炯涛在《数学教学论》中认为:最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点,整个高等数学的内容遵循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”,“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为高等数学基本思想是指:渗透在高等数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容:符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。 二、高等数学思想方法的特征 (一)高等数学方法体现了辩证法的思想 1、极限 极限概念的ε—δ和ε—N形式中,扮演主要角色的ε具有二重性,即ε既有确定性,又有任意性,这种集确定性与任意性于一身的特点,深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一的辩证关系。即用一系列静态去刻画和把握动态,这种静与动的辩证关系正符合事物发展变化的一般规律,这是初等数学思维所无能为力的。 2、导数 导数概念是数学分析核心内容的一个基本概念,导数概念是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上点的切线斜率而形成的,为了求函数F (x)在的变化率,要进行以下步骤: 第一步,从X0出发,以X0为中心“张开”一个小区间; 第二步,利用已有的代数知识和方法,求出F (x)在该小区间上的平均变化率; 第三步,让此小区间向X0点“收缩”,经过一个“无限”变小的飞跃过程,由函数F (x)在X0点邻近的平均变化率获得在X0点的变化率,即函数F (x)在X0点的导数。 上述处理问题的思想方法采取了“欲进故退”的迂回方式,即为了求精确值而先求近似值然后再由近似值过渡到精确值。从本质上讲,这种思想方法正是利用函数F (x)在X0点邻近的变化状态去揭示和把握F (x)在X0点的变化状态。是一个描述“局部”特性的概念。 (二)高等数学思维强调对概念、法则的深刻理解 从宏观思维方法上看,中学数学比较强调技巧,而高等数学则更注重对概念、法则的深刻理解。比如线性空间定义的文句很长,验证某集合是线性空间时,必须一条条地按定义验证,这是不需要多少技巧但必须对线性空间的定义有较深刻的理解。 数学概念和其它科学的概念有所不同, (非原始)数学概念必须以定义的形式规范它的意义,而且必须从定义出发而不是从别的概念来进行推演。高等数学中有不少概念都是中学数学概念的扩展,扩展后的概念往往采用与原来概念相同的名称。但每一次扩展都重新加以定义。如矩阵定义相等、定义加法,等等。 要深刻理解概念,必须对定义有深刻了解。定义通常有两种,一种叫种属定义,它是通过范围较广的概念加以某种限制而得到范围较小的概念。概念所指的事物的范围,在逻辑里叫外延,外延“大”的概念叫种概念,包含于种概念的外延之中的概念叫属概念,某些限制叫属差,这样就得到了一个种属定义的“公式”: 属概念=属差+种概念。我们学习一个概念,如果它是用种属定义方式定义的,就首先一定要弄清,它的种概念是什么。例如,等腰三角形的定义是:“有两边相等的三角形”,其属概念是“等腰三角形”,种概念是“三角形”,属差是“有两边相等”。有些定义的种概念比较隐蔽,如数列极限定义:“任给ε>0,存在N,当n>N时总有: |an-A|<ε成立,那么A叫数列的极限”,极限是一个实数(种概念),是满足“任给ε>0,存在N,当n>N时总有: |an-A|<ε成立”(属差)的实数。其次,在学习和复述一个概念时,要把属差搞准确。另一种定义叫归纳定义,它是指明被定义概念,由哪些范围小一些的概念所组成的。 三、关于改进高等数学思想教学方法的建议 (一)编写新高等数学教材要体现数学思想方法 在编写新的高等数学教材中,对其体系结构、内容选取、练习内容、形式以及叙述的方式都要体现数学思想方法教学的要求,特别要重视编写好绪论和每章开始的概述和末尾的结束语或小结。根据培养面向21世纪高综合素质高等人才的要求和文、工、理等各类非数学专业对数学的不同需要,应把整个高等数学教材编写为三卷供选用为宜。第一卷为基础高等数学,主要包括空间解析几何、线性代数、微积分、微分方程和概率统计等内容;第二卷为专业高等数学,主要包括各个理工科专业特殊需要的一些数学,如复变函数、积分变换、数理方程、多元分析和应用随机过程等;第三卷为现代高等数学,主要介绍抽象代数、泛函分析、拓朴学、微分流形和小波分析等一些基本知识。 (二)教师备课时要抓准知识与思想方法的结合点 教师在备课过程中要深入钻研教材和参阅有关参考材料,要善于从具体的数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法,对全书、每个单元、章节所蕴涵的数学思想方法及它们之间的联系预先要明确、具体、统筹安排,这样才能有目的、有计划和有要求地进行数学思想方法的教学。◆ 参考文献: [1]吕世虎,徐兆亮,张定强,牟录贵。从高等数学看中学数学[M]。北京:科学技术出版社,2005,5。 [2]陈永明。高等数学引桥[M]。上海:上海科技教育出版社,2002,3。 [3]蔡上鹤。数学思想和数学方法[J]。中学数学,2000,(9):1-4。 |
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