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标题 立体几何复习之易错题点评
范文

    洪其强

    1. 考虑问题不全面而出错

    点评:虽然SB与CD所成的角为60°,且ME//AB,MF//CD,但∠EMF不一定就是60°,也有可能是120°,也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角,因此以上的解法不全面,当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时,小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角,受图形的限制,我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°,因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

    正解:可将四面体ABCD放回长方体内,使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线,在此背景下,长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则①需要满足x=y=z才能成立;因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证),则②正确;正四面体的同一顶点处三个角之和为180°,事实上各个面都是全等的三角形,对应三个角之和一定恒等于180°,③显然不成立;由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确;每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长,⑤显然成立.

    故选②④⑤.

    点评:(1)正确作出图形,利于分析解决问题.(2)空间中的点、直线、平面的位置关系,与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的,空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

    2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

    9. 因三视图识图不准而出错

    例12. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )

    错解:答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误.

    正解:还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.

    点评:(1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚线,并做到“正侧一样高,正俯一样长、俯侧一样宽”.(2)在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

    (作者单位:贵州省龙里中学)

    责任编校 徐国坚

    1. 考虑问题不全面而出错

    点评:虽然SB与CD所成的角为60°,且ME//AB,MF//CD,但∠EMF不一定就是60°,也有可能是120°,也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角,因此以上的解法不全面,当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时,小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角,受图形的限制,我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°,因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

    正解:可将四面体ABCD放回长方体内,使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线,在此背景下,长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则①需要满足x=y=z才能成立;因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证),则②正确;正四面体的同一顶点处三个角之和为180°,事实上各个面都是全等的三角形,对应三个角之和一定恒等于180°,③显然不成立;由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确;每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长,⑤显然成立.

    故选②④⑤.

    点评:(1)正确作出图形,利于分析解决问题.(2)空间中的点、直线、平面的位置关系,与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的,空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

    2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

    9. 因三视图识图不准而出错

    例12. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )

    错解:答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误.

    正解:还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.

    点评:(1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚线,并做到“正侧一样高,正俯一样长、俯侧一样宽”.(2)在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

    (作者单位:贵州省龙里中学)

    责任编校 徐国坚

    1. 考虑问题不全面而出错

    点评:虽然SB与CD所成的角为60°,且ME//AB,MF//CD,但∠EMF不一定就是60°,也有可能是120°,也就是说∠EMF或它的补角才是AB与CD所成的角,因此以上的解法不全面,当异面直线所成的角转移到两直线的“交角”时,小于或等于90°的“交角”才是异面直线所成的角,受图形的限制,我们看不出哪一个“交角”会小于或等于90°,因此必须分情况讨论或以计算结果来判定.

    正解:可将四面体ABCD放回长方体内,使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线,在此背景下,长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则①需要满足x=y=z才能成立;因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证),则②正确;正四面体的同一顶点处三个角之和为180°,事实上各个面都是全等的三角形,对应三个角之和一定恒等于180°,③显然不成立;由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确;每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长,⑤显然成立.

    故选②④⑤.

    点评:(1)正确作出图形,利于分析解决问题.(2)空间中的点、直线、平面的位置关系,与平面中的点、直线、平面的位置关系是不同的,空间中三者之间的位置关系要复杂的多.特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

    2. 乱套平面几何中的结论到立体几何中来而出错

    9. 因三视图识图不准而出错

    例12. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )

    错解:答案A或D.致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误.

    正解:还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.故选B.

    点评:(1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚线,并做到“正侧一样高,正俯一样长、俯侧一样宽”.(2)在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

    (作者单位:贵州省龙里中学)

    责任编校 徐国坚

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更新时间:2025/3/10 15:24:31