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标题 刍议导数教学的有效对策
范文

    陈俊俊

    导数作为研究函数的重要工具,也是进一步学习高等数学的基础,一直受到命题者的重视与青睐,导数的应用已成了命题的必考点,也作为高考的压轴题成为一种常态.通过对近几年全国高考数学新课程卷Ⅰ进行分析,笔者认为在高二对人教版A版选修2-2第一章“导数及其应用”教学中要把握高考命题方向,围绕高考知识点进行有效教学.

    “导数及其应用”这一章分为三块:导数的概念与计算、导数的应用、定积分.

    1.导数的概念与计算

    这一块在学习的时候要求学生掌握21841(爱你,不是你),具体为:

    2个背景:平均变化率、瞬时变化率;

    1个定义:导数的定义;

    8个公式:常用的基本初等函数的导数公式;

    4个运算法则:两个函数加、减、乘、除的求导运算法则;

    1个运算法则:复合函数求导法则(文科不要求掌握).

    在这一块的学习中,要注意学生对导数概念的理解.

    2.导数的应用

    导数的教学应突出基础性和综合性,要准确理解概念,掌握通性通法,学会融会贯通,要会利用函数解决某些简单的实际问题.

    尤其要关注以下几个问题:

    (1)知晓三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质(以a>0为例):

    ①函数图像与单调性:

    记Δ=b2-3ac为三次函数图像的判别式,用判别式判断函数图像:

    当Δ≤0时,f(x)在R上单调递增;当Δ>0时,f(x)会在中间一段单调递减,形成三个单调区间以及两个极值点.

    ②对称性:

    f(x)的图像关于P-b3a,f(-b3a)对称,其极值点对应的图像上的点也关于点P对称(理科适当介绍二阶导数).

    (2)熟悉几类常见构造函数的形式:

    关系式为“和”型:

    ①f′(x)+f(x)构造为[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)];

    ②xf′(x)+f(x)构造为[xf(x)]′=xf′(x)+f(x);

    ③xf′(x)+nf(x)构造为[xnf(x)]′=xnfx(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)].

    (注意对x的符号进行讨论)

    关系式为“减”型:

    ①f′(x)-f(x)构造为f(x)ex′=[f′(x)ex-f(x)ex]e2x=f′(x)-f(x)e2;

    ②xf′(x)-f(x)构造为f(x)x′=xf′(x)-f(x)x2;

    ③xf′(x)-nf(x)构造成f(x)xn′=xnf′(x)-nxn-1f(x)(xn)2=xf′(x)-nf(x)xn+1.

    (注意对x的符号进行讨论)

    (3)熟悉活跃在高考题中的几个重要函数不等式:

    结论1 对x∈R,ex≥x+1恒成立,当且仅当x=0时取得等号.

    变式1 对x∈R,e-x≥1-x恒成立,当且仅当x=0时取得等号;

    变式2 对x>-1,e-x≤11+x恒成立,当且仅当x=0时取得等号;

    变式3 对x>-1,x≥ln(x+1)恒成立,当且仅当x=0时取得等号;

    变式4 对x>0,x-1≥lnx恒成立,当且仅当x=1时取得等号;

    变式5 对x>0,x>lnx恒成立.

    结论2 对x≥0,x≥sinx恒成立,当且仅当x=0时取得等号;对x≤0,x≤sinx恒成立,当且仅当x=0时取得等号.

    除此之外,还可以对这两个函数不等式以及其变式进行变形、替换、赋值、放缩等变化衍生出更多函数不等式.

    (4)适时介绍洛比达法则(文科生、平行班不做要求):

    含参的恒成立问题一直是高考考查的热点,而且经常作为压轴题出现.对于含参恒成立问题学生习惯用分离参数求解,但在分离的途中有时会出现00型或者∞∞型的式子,无法按照常规方法约掉零因子或者无穷因子,但若借助高等数学洛比达法则便能化险为夷.

    3.定积分

    考试说明对定积分这块的要求是“了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念”.大纲对定积分要求并不高,所以不必在这块花太多的时间和精力.但要注意定积分的几何意义.

    总之,函数与导数是高考的重要考点,在复习中应以全国考试大纲为依据,以考试说明为指导,以函数的基本概念和性质为主线,引导学生利用导数的“工具”特性,培养用导数分析函数性质的意识,渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法,提高解决问题的能力,以适应高考改革对复习的新要求.

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更新时间:2025/3/15 5:38:38