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标题 例析两直线的平行与垂直
范文

    周沁人

    

    

    

    摘 要:直线的平行与垂直是两直线位置关系中的重要内容,关键是注意判断的方法.

    关键词:平行;垂直;参数;变量

    我们先来认识对两直线的平行与垂直的判定,如果给出的是两条斜截式方程(即直线的斜率存在),直线l1∶y = k1 x + b1 ,直线l2∶y=k2x+b2,l1∥l2的等价条件是k1=k2,b1≠b2;l1⊥l2的等价条件是k1·k2=-1;需要注意的是∶判断两条不重合的直线l1与直线l2平行,可判断两直线的斜率k1=k2(两直线的斜率都存在),也可判断两直线的倾斜角相等.在利用k1=k2来判断l1与l2平行时,一定要注意直线的斜率存在与否,但是在利用倾斜角相等来判断两直线平行,则无需讨论.而对于两直线垂直,需要注意的是两条直线的斜率都存在,也可能是其中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.

    若给出的是一般式方程:l1∶A1x+B1y+C1=0,直线l2∶A2x+B2y+C2=0,则若两直线平行,在两直线斜率存在的情况下,则有A1A2=B1B2≠C1C2;在两直线斜率不存在的情况下,则有B1=B2=0且A1A2≠C1C2;若两直线垂直,则有A1A2+B1B2=0.

    探点一 判断两直线的位置关系

    例2 已知過点A-2,m和Bm,4的直线与直线2x+y+1=0平行,则m的值为.

    分析 由于过两点的直线和已知直线平行,则两条直线的斜率相等,通过该思路解决问题.

    解 因为kAB=m-4-2-m,而直线2x+y+1=0的斜率k=-2,因此kAB=m-4-2-m=-2,所以m=-8.

    例3 当a为何值时,直线l1∶a+2x+(1-a)y-1=0与直线l2∶a-1x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

    分析 通过利用两条直线垂直的条件求解.

    解 由题意得到l1⊥l2,a+2a-1+1-a2a+3=0,则可求得a=1或a=-1,两个值都适合.

    反思 两条直线平行,则斜率相等或斜率都不存在,因本题中已知一直线斜率k=-2是定值,故另一直线斜率也一定存在.两直线垂直用A1A2+B1B2=0的结论解决不会漏解.

    探点三 利用两直线的平行与垂直关系求直线方程

    例4 求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上截距(均不为零)之和为73的直线l的方程.

    所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.

    例5 求过点A2,1,且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.

    分析 由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负倒数,故可得其方程为Bx-Ay+λ=0,这是常用到的解题技巧.

    解 设与直线2x+y-10=0垂足的直线方程为x-2y+λ=0.

    因为直线l经过点A2,1,所以2-2×1+λ=0,解得λ=0.故所求的方程为x-2y=0.

    反思 解决上述两类问题除了直接设方程外,还可以寻找直线斜率之间的关系,若两直线平行,则斜率相等;若两直线垂直,则两直线斜率乘积为-1.

    探点四 已知两直线位置关系求变量

    例6 m-2x+15y+2m=0,直线l2∶x+my+65=0,当m为何值时,l1与l2(1)平行;(2)重合;(3)相交;(4)垂直.

    分析 上述问题给出的是直线的一般式方程,则可利用平行、重合、相交及垂直的条件就可判断.

    分析 本题是一道探索题,一般地,我们先假设存在,若推导过程中产生矛盾,则假设不成立,本题隐含一个条件a2+2b-1≠0,否则与一元二次方程的定义相矛盾.

    反思 第一问是以集合的形式出现,归结为坐标平面上两条直线位置关系的讨论,主要通过分类讨论的思想来解决问题.第二问是抓住两直线的位置关系来解决问题.

    直线的平行与垂直是两直线位置关系中的重要内容,把握确定方法与计算方法则是关键.

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更新时间:2025/3/14 8:12:39