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标题	高等数学中关于中值定理的题型证明
范文	郑欣 高等数学中微分学中的几个中值定理，包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理等，是导数应用的理论基础。 本文主要讨论证明结论中含有这一类型题的证明，此种类型题证明方法有： （1）验证为的最值或极值点，然后用费马定理即可； （2）验证在上满足罗尔中值定理，利用一次中值定理证明即可； （3）利用泰勒公式或多次利用罗尔中值定理即可。 例 设在上有三阶导数，且，又设， 试证：在内至少存在一点，使 证明一：由于得 所以 对在上用罗尔定理（由于）存在，使. 由于，对在上用罗尔定理存在，使得，由于，对在上用罗尔定理，存在.使得. 此种证明方法就是利用了多次罗尔中值定理。 证明二：由于在上有三阶导数，且，对在处进行二阶泰勒展开. 也就是 （在0与之间） 由于 将代入上式得 ， 此种证明方法就是利用了多次罗尔中值定理泰勒公式。 例：设在上连续，在上可导，且，又， 试证：在内至少存在一点，使。 证明：由题可知在上满足罗尔定理，所以存在，使. 又由积分中值定理得其中， 于是在上满足罗尔中值定理，所以存在使得： ，其中 由以上证明可得 再对在上使用罗尔定理，于是有，其中。 參考文献 [1]同济大学应用数学系，高等数学[M]， 北京：高等教育出版社，2016 [2]华东师范大学数学系.数学分析[M]， 北京：高等教育出版社，2012
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