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数形结合之中职数学“2.3一元二次不等式”知识小结

范文

尤悦秋

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在中职《数学（基础模块）》修订版上册中，第2章第3节一元二次不等式的教学中，围绕一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间的关系及其应用，以一元二次函数为中心，从代数角度及几何图形角度，利用数形结合，由图像直观感知揭示规律，解决不等式问题。

[关? ? 键? ?词]? 二次函数;图像;一元二次不等式;一元二次方程

[中图分类号]? G715? ? ? ? ? ?[文献标志码]? A? ? ? ? ? ? ? [文章编号]? 2096-0603（2020）31-0102-02

由于中职生的文化基础较差，初中阶段对数学的学习缺漏多，数学基础知识很薄弱。在《数学（基础模块）》修订版上册中，第2章第3节一元二次不等式的教学中感触特别强烈，学生对于初中所学的一元二次方程、一元二次函数的知识极其不熟悉。一元二次方程、一元二次函数在初高中甚至中职的数学中，都占有重要的地位，有着广泛的应用，紧密联系中职数学，起桥梁、纽带的作用。中职数学教材中，从初中一次函数、一元一次方程与一元一次不等式出发，利用一元一次函数图象，引出一元二次函数图象与之进行对比，并提出问题、解决问题，引导学生利用已学过的知识解答，从而达到教育教学的目的。

一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数，这三种题型，最终都可以归结为对一元二次函数的研究。从代数的角度来看，一元二次方程是令函数值为0时，自变量的取值;一元二次不等式则是令函数值大于0（或小于零）时，自变量的取值范围。从几何角度看，通过画出二次函数的图象，判断函数图象（抛物线）在直角坐标系中，图象与x轴、y轴之间的位置关系判断函数的性质，一元二次方程则是，图象与x轴交点的x的值;一元二次不等式则是，图象与x轴的位置关系，如果图象在x轴上方函数值大于0，否则反之。利用数形结合形象直观地告诉学生，“一元二次”三者之间的联系。

下面我们就对三者之间的知识进行一个总结。

一、二次方程、二次函数、二次不等式基础代数知识

1.一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数且a≠0）

③当Δ=b2-4ac<0时，ax2+bx+c=0，无实数根。

（3）根与系数的关系，韦达定理：

2.一元二次函数一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数且a≠0）

（1）函数其他形式。

①顶点式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0）

②两根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

（2）函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。

a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下。

（3）一般式的顶点、对称轴。

3.一元二次不等式一般式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

设ax2+bx+c=0（a≠0）时，当Δ=b2-4ac>0，两个根分别为x1、x2，且x1

（1）ax2+bx+c>0

①Δ>0 解集為{x|xx2}

③Δ<0 解集为R

（2）ax2+bx+c<0

①Δ>0 解集为{x|x1

②Δ=0 解集为Φ

③Δ<0 解集为Φ

二、二次方程、二次函数、二次不等式几何意义

1.一元二次方程标准式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数且a≠0）

根的判别式Δ=b2-4ac

（1）当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，图象与x轴有两个交点。

（2）当Δ=b2-4ac=0时，有两个相等的实数根，图象与x轴只有一个交点。

（3）当Δ=b2-4ac<0时，无实数根，图象与x轴无交点。

2.一元二次函数标准式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数且a≠0）

（1）当a>0时，y=f（x）的图象是开口向上的抛物线，

（2）当a<0时，y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，

3.一元二次不等式标准式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，（其中a>0）

（1）ax2+bx+c>0（其中a>0）

①图象与x轴有两个交点

解集为{x|xx2}

②图象与x轴有一个交点

③图象与x轴没有交点

解集为R

（2）ax2+bx+c<0（其中a>0）

①图象与x轴有两个交点

解集为{x|x1

②图象与x轴有一个交点

解集为Φ

③图象与x轴没有交点

解集为Φ

从以上对三者之间基础知识的对比，我们发现二次函数、二次方程及不等式中需要记忆的知识、公式太多、太繁杂，对于中职生的实际学习能力，及数学知识的基础不扎实来说，确实是一个难度很大的学习过程。我们通过借助一元二次函数图象，利用抛物线在直角坐标系中体现出的直观性，结合函数、方程以及不等式的基础知识，从而让学生更轻松地掌握知识。

学生通过对函数基础知识的学习，利用基础一元二次函数的顶点公式，对称轴的求解，画出大致抛物线的草图，再通过草图准确掌握函数的性质，从而学会一元二次方程、一元二次不等式的解法。在科技高速发展的今天，学生对于手机软件、电脑软件的学习能力较强，也可以通过许多大家都熟悉的数学软件，如几何画板、GeoGebra等数学软件制作准确的函数图象，并从中掌握一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程的解题规律，以达到更好的学习效果。

实例分析：

例题：画出一元二次函数y=x2-4x+3的图象。

说一说，①当x取哪些值时，y=0？②当x取哪些值时，y>0？③当x取哪些值时，y<0？

分析：方法一：可以利用几何画板画出函数图象，从图象可知，对称轴x=2，与y轴的两个交点分别为（1，0）、（3，0）所以

①当x=1或x=3时，y=0

②当{x|x<1或x>3}时，y>0

③当{x|1

方法二：①令y=0，即x2-4x+3=0，利用因式分解（x-1）（x-3）=0，解得x1=1，x2=3，利用口诀“大于在两边，小于夹中间”

②当{x|x<1或x>3}时，y>0

③当{x|1

在中职数学“2.3一元二次不等式”的教学中，我们常常以一元二次函数的知识点为基础，一元二次方程及一元二次不等式分别是以函数与x轴的位置关系，与x轴有两个交点、一个交点或者是没有交点，通过二次函数的函数图象和基本性质来解决问题，在数形结合的反复练习中，应掌握函数的基本性质，从而提高熟练解决二次方程及二次不等式的解题能力。

◎编辑马燕萍

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