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标题 反证法在初中数学解题中的应用
范文

    张本陆

    

    【摘 要】作为一种常见的解题法,反证法在某些复杂数学问题解题中常常可以起到画龙点睛的作用,有利于简化问题,提升解题的准确度,尤其适用于某些证明题的求解。本文以反证法为研究对象,着重就其在初中数学问题求解中的应用进行了深入探讨。

    【关键词】初中数学;解题;反证法

    伟大的物理学家牛顿将反证法比作是一把精良的思维武器,充分凸显了其重要性。在初中数学学习中,反证法不仅可以应用于各种证明题的求解,也有助于提升学生的逻辑思维能力。特别是在某些无法直接或根本无法正面证明某个命题的时候,可以应用反证法来对待证命题的反面进行证明,借此推导出该命题的准确性与否。因此,如何引导学生熟练地应用反证法来解决数学问题值得深入探讨。

    1.反证法在解题中应用的基本流程

    在解题中应用反证法的时候,一般可以归结为三个基本步骤:“反设”“归谬”和“结论”,这三者相互联系,共同构成了反证法应用的整个流程。首先,“反设”是应用反证法解题的基础,其正确性会直接影响后续解题结果准确性和效率。在解题之前,需要对题设条件、结论等相关信息进行仔细调查和了解,确保可以全面地找出与结论相反的假设,最后再肯定或否定结论,这个过程就是“反设”环节。其次,“归谬”是应用反证法解题的关键环节,也是最难的一个环节。“归谬”顾名思义就是借助反设来制造冲突或矛盾,是应用反证法的一个核心要素,这个过程中需要明确反设后条件部分和结论方面的推导方向。最后,“结论”是得出反证法应用结果的最终环节,其所得到的冲突或矛盾并非全新的理论,而是只有反设条件成立,相应命题结论方可成立的结论。如此一来,就借助反证法完成了证明。纵观反证法在解题中应用的三个环节,可知导出假设和结论之间的矛盾才是应用反证法的关键,常见的矛盾形式主要包括自相矛盾,或者与定理、定律、已知条件或假设条件矛盾等。此外,在解题中应用反证法的时候,需要注意如下要点:其一,要正确否定结论,这是正确应用反证法来解题的基础和前提。比如,“最多有一个”代指“只有一个”或“没有一个”,其反面的结论则是指“至少有两个”,“大于”反面结论则是“不大于”等等。其二,要明确反证法推理的特征,具体就是对结论进行否定后并推导出存在矛盾。虽然矛盾是否存在具有不确定性,但是却可以结合相应证明题类型来进行预先判定推到方向。比如,对于平面几何问题,一般考虑其是否满足相应的定理或公理等。

    2.反证法在解题中应用的案例分析

    反证法在解题中的应用,主要范围为各类证明题的正面,常见的主要包括如下几类:

    (1)在证明初始命题或基本定理中的应用。在初中数学学习中,许多数学初始命题或基本定理都是借助反证法来进行证明的。比如,平面平行的判定定理、“过平面外一点只有平面的一条垂线”等。

    例1:已知某△ABC的∠C=90°,∠A、∠B和∠C三个角所对应的边长依次为a、b和c,试证明c■=a■+b■。

    解析:该道题本质上就是一道直角三角形勾股弦定理的证明题,这时候无法直接从正面进行证明,所以可以转换思路,从侧面应用反证法来进行证明。

    证明:假定c■≠a■+b■,那么由a■+b■>0,可以假定a■+b■=c'■,并且可得:c'>a>0,c'>b>0,且(a+b)■=a■+b■+2ab=c'■+2ab>c'■,从而可得:a+b>c',这同假定的条件相互矛盾,所以可知假定的条件不成立,即:c■=a■+b■。

    (2)在存在性问题证明中的应用。在初中数学学习过程中,“存在性”证明问题也比较常见,这类数学问题也非常适宜采用反证法来进行解决。

    例2:已知某三角形ABC的三边满足b=(a+b)/2,试证:该三角形中至少有两个角不超过60°。

    解析:该道题是一道典型的证明题,且由于没有给出具体的三角形边长数值,均以参数进行表示,所以无法通过直接计算来证明,这时候可以采用反证法来进行反证。

    证明:假定该三角形ABC中至少有两个角大于60°。由于根据三角形内角和为180°,所以可知三角形中最多有两个角超过60°,这时候结合假定条件,可知所假设条件等价于“三角形中有且仅有两个角大于60°”这个命题,这时候假定∠A和∠C两个角>60°。那么可知:cosA<■,cosC<■,之后由余弦定理公式可得:c■=a■+b■-2abcosC=a■+b■-ab,再联合a■=b■+c■-abccosA>b■+c■-bc,可得:2b■<ba+bc,即:b<(a+c)/2,这同题目中所给定的已知条件矛盾,所以所提假设不成立,这样就可以证明该三角形中至少有两个角不超过60°。

    (3)在无限性问题证明中的应用。在初中数学学习过程中,“无限性”证明问题也比较常见,即涉及到“无限”或“无穷”等概念的数学题,这类数学问题无法直接从正面入手进行解决,但是非常适宜采用反证法来进行解决。

    例3:求证:■是无理数。

    解析:该道题干信息非常简短,但是却无法直接从正面来进行证明,这时候就可以应用反证法来进行求解。先假定■不是無理数,也就是说■是有理数,这时候就可以将其表示成两个整数之比,假定■=■,p≠0,且其中q和p互素,那么可得■p=q,即2p■=q■。如果为q■偶数,那么q也势必会为偶数,这时候可以假定q=2k,将其代入上式后可得:2p■=4k■即p■=2k■,这时候再假定p也为偶数。由于p和q均为偶数,且公约数为2,这同前面假设中p和q互素相矛盾,所以假设不成立,即■不是有理数,而应该是无理数。

    总之,反证法是一种重要的解题法,其在某些初中数学证明题中有广泛应用空间,同时也可以发展学生的逻辑思维,提升学生解题能力。本文主要对常见的三类证明题中反证法的应用进行了论述,但是其在其他类证明题中也可以进行应用,具体需要结合实际的解题需求,灵活应用反证法来进行解题。

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更新时间:2024/12/23 14:55:35