| 标题 | 归类探究三角函数中的求最值（或值域）问题 |
| 范文 | 刘洪峰 【摘要】三角函数最值问题屡屡受到命题者青睐，求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一.本文对三角函数的求最值问题进行粗浅研究，望共同探讨. 【关键词】三角函数；归类；求最值；值域问题 前言 三角函数的最值问题是中学数学的一个重要内容，也是高考中的常见题型，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力. 三角函数求最值问题主要有以下几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴. 一、化成y=asinx+b（a≠0）或y=acosx+b（a≠0）型 1.y=asinx+b（a≠0）的最大值和最小值. （1）当a>0时，若sinx=1，ymax=a+b；若sinx=-1，ymin=b-a. （2）当a<0时，若sinx=-1，ymax=b-a；若sinx=1，ymin=a+b. 2.y=acosx+b（a≠0）的最大值和最小值. （1）当a>0时，若cosx=1，ymax=a+b；若cosx=-1，ymin=b-a. （2）当a<0时，若cosx=-1，ymax=b-a；若cosx=1，ymin=a+b. 例1已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值. （Ⅱ）将函数y=f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数g（x）在区间0，π16上的最小值. 分析（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0）， ∴f（x）=sinωxcosωx+1+cos2ωx2 =12sin2ωx+12cos2ωx+12 =22sin（2ωx+π4）+12 由于ω>0，依题意得2π2ω=π， 所以ω=1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=22sin（2x+π4）+12， 所以g（x）=f（2x）=22sin（4x+π4）+12. 当0≤x≤π6时，可得π4≤4x+π4≤π2， 所以22≤sin（4x+π4）≤1. 因此1≤g（x）≤1+22， 故g（x）在区间0，π16内的最小值为1. 变式1已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x-2sinx+π4sinx-π4. （1）若tanα=2，求f（α）； （2）若x∈π12，π2，求f（x）的取值范围. 变式2已知函数f（x）=sin2x-2sin2x. （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合. 二、化成y=asin2x+bsinx+c（a≠0）或y=acos2x+bcosx+c（a≠0）型 例2已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx. （Ⅰ）求fπ3的值； （Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值. 分析（Ⅰ）fπ3=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3 =-1+34=-94 （Ⅱ）f（x）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx =3cos2x-4cosx-1 =3cosx-232-73，x∈R. 因为cosx∈[-1，1]， 所以，当cosx=-1时，f（x）取最大值6；当cosx=23时，f（x）取最小值-73. 点评此题主要是化为某个三角函数的二次三项式，结合换元法、配方法. 变式3当0 A.14B.12C.2D.4 变式4函数f（x）=cosx-12cos2x（x∈R）的最大值等于. 三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型 方法：形如y=asinx+bcosx的可引进辅助角化成a2+b2sin（x+φ），再利用有界性. 例3设函数f（x）=cosx+23π+2cos2x2，x∈R，求f（x）的值域. 分析f（x）=cosxcos23π-sinxsin23π+cosx+1 =-12cosx-32sinx+cosx+1 =12cosx-32sinx+1 =sinx+56π+1， 因此f（x）的值域为[0，2]. 点评注意熟练掌握 sinx+cosx=2sinx+π4=2cosx-π4 sinx-cosx=2sinx-π4=-2cosx+π4 cosx-sinx=2sinπ4-x=2cosx+π4 变式5已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），求函数f（x）的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值. 四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型 例4求函数y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值. 分析法一（分离常数法） y=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2（sinx-2）+1sinx-2 =-1sinx-2-2. 由-1≤sinx≤1，得 -3≤sinx-2≤-1，-1≤1sinx-2≤-13， 13≤-1sinx-2≤1， 即-53≤-1sinx-2-2≤-1， ∴ymax=-1，ymin=-53. 法二（逆求法）由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3， ∵-1≤sinx≤1， ∴-1≤y+22y+3≤1，解得-53≤y≤-1， ∴ymax=-1，ymin=-53. 点评此题是利用了分离常数的方法和逆求法求解的. 变式6设a>0，对于函数f（x）=sinx+asinx（0 A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 五、化成y=csinx+dacosx+b型 例5求函数y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值. 分析由已知得ycosx-2y=sinx-1， ∴sinx-ycosx=1-2y，即y2+1sin（x+φ）=1-2y， ∴sin（x+φ）=1-2yy2+1， ∵|sin（x+φ）|≤1，∴1-2yy2+1≤1， 即3y2-4y≤0，解得0≤y≤43，故ymax=43，ymin=0. 点评上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单. 变式7当0 A.2B.23C.4D.43 六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型 例6求函数y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值. 分析设t=sinx-cosx=2sinx-π4， 则-2≤t≤2， 且sinx·cosx=1-t22. 由于y=t+1-t22=-12（t-1）2+1， 故当t=1时，ymax=1；当t=-2时，ymin=-2-12. 点评sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系.sinα·cosα是纽带，三者之间知其一，可求其二.令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下. 七、化成y=sin（ωx+φ）·cos（ωx-φ）或y=sin（ωx+φ）+sin（ωx-φ）型 例7已知函数f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2，x∈R（其中ω>0），求函数f（x）的值域. 分析f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2 =32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-（ωx+1） =232sinωx-12cosωx-1 =2sinωx-π6-1 由-1≤sinωx-π6≤1，得 -3≤2sinωx-π6-1≤1， 可知函数f（x）的值域为[-3，1]. 八、化成y=sinx+asinx型 例8求y=sinx+2sinx（0 分析设u=sinx，则y=u+2u（0 ∴当u=1时，ymin=1+21=3. 点评若由sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，可得最小值22是错误的.这是因为当等号成立时，sinx=2sinx，即sinx=2>1是不可能的.若把此题改为y=sinx+2sinx（0 变式习题答案： 1.解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx+cos2x =1-cos2x2+12sin2x+cos2x =12（sin2x+cos2x）+12 由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45， cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35， 所以f（α）=35. （2）由（1）得 f（x）=12（sin2x+cos2x）+12 =22sin2x+π4+12， 由x∈π12，π2得2x+π4∈5π12，5π4， 所以sin2x+π4∈-22，1. 从而f（x）=22sin2x+π4+12∈0，1+22. 2.解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x-（1-cos2x） =2sin（2x+π4）-1， 所以函数f（x）的最小正周期T=2π2=π. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2x+π4=2kπ+π2， 即x=kπ+π8（k∈Z）时，f（x）取最大值2-1. 因此函数f（x）取最大值时x的集合为 x|x=kπ+π8，k∈Z. 3.D 4.34 5.解：由f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1，得 f（x）=3（2sinxcosx）+（2cos2x-1） =3sin2x+cos2x=2sin2x+π6， 所以函数f（x）的最小正周期为π. 因为f（x）=2sin2x+π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f（0）=1，fπ6=2，fπ2=-1，所以函数f（x）在区间0，π2上的最大值为2，最小值为-1. 6.B 7.C |
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