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标题

高考数学与数学文化赏析

范文

王佩其

我们知道，数学不仅是一种重要的“工具”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”.数学是人类文化的重要组成部分，是人类精神与社会进步的产物，也是推动社会发展的动力.新考纲明确，要考数学文化.那么高考如何考数学文化呢？对于数学文化，其实在近两年的高考试题中已经有所体现，只是今年新修订的大纲更加强调.我国古代数学里有大量的实际问题，可以结合函数、数列、立体几何、算法等内容.这些问题同时也体现了应用性的考查，理应引起考生的充分重视.本文列举几个例子，与大家共赏！

一、《九章算术》与高考数学

《九章算术》是流传到现在的中国最早的一部数学专门著作.《九章算术》的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系.这些密切联系实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主.《九章算术》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.如逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想等，从某种意义上看，当代高中数学与之“一脉相承”，《九章算术》必然会在倡导“学以致用”理念的新课标数学高考中有所体现，于是与《九章算术》有关的高考题或模拟题应运而生，从这些试题中，我们可以看到《九章算术》与现代高考的优美结合，看到中华古代文明与现代文明的交相辉映.

例1.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.

（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为■，求■的值.

解析：（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而DE？奂平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.

而PB？奂平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

（2）如图所示，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，连接DG，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.

由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.

而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角.

设PD=DC=1，BC=？姿，有BD=■.

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠FDB=■，

则tan■=tan∠DPF=■=■=■，解得？姿=■. 所以■=■=■.

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为■时，■=■.

点评：此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五].今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.問积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺.问积几何.考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，并与课本例题有机整合.巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.让数学教育者与高考学子为之赞叹！

例2. 中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐.问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P（注芦苇与水面垂直）.在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺.（注：1丈=10尺，■≈24.5）

解析：设水深为x，则x2+52=（x+1）2，解得：x=12.

∴水深12尺，芦苇长13尺，

以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为：

x2+y2=169（-5≤x≤5，12≤y≤13）……①

E点的坐标为（-■，12），∴OE所在的直线方程为y=-■x……②

由①②联列，解得y=■≈■=■.

则此时芦苇的顶端到水面的距离为■-12=■. 故答案为■.

点评：本题是《九章算术》中的一道名题，可用现代数学的解析法来解决，体现了数学解题的与时俱进，可以考查考生处理数学问题的灵活性.

二、杨辉三角与高考数学

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.随着新课程的全面展开，“杨辉三角”问题已逐步渗透到高考和各级各类模拟试题之中.以它为载体设计情境新颖的试题，通过研究其自身蕴含的性质，来考查学生的数学思维，在新情境中提高考生吸收信息、处理信息、创新探究的学习能力.

例3. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）

（A）2017×22015 （B）2017×22014

（C）2016×22015 （D）2016×22014

解析：第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为（3+1）×21；

第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为（4+1）×22；

第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为（5+1）×23

…

可猜想第一行为1、2、3…2016最后一行的数为（2016+1）×22014=2017×22014，故选B.

点评：解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：（1）对数据要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；（2）通过观察找出每一行的数据之间，行与行之间数据的规律；（3）将发现的规律用数学式子表达；（4）由数学式子得出结论.

例4. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.下图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第3个数；

（2）若第n行中从左到右第13与第14个数的比为■，求n的值；

（3）写出第12行所有数的和，写出n阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和；

（4）在第3斜列中，前5個数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m，k（m，k∈N*）的数学式子表示上述结论，并证明.

解析：（1）第20行中从左到右的第3个数为■=■=190.

（2）第n行中从左到右第13个数为■，第14个数为■.

于是由■=■解得n=34.

（3）第12行所有数的和为212=4096.

n阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和为1+2+22+23+…+2n=2n+1-1.

（4）■+■+…+■=■.

证明：左边=■+■+…+■=■+■+…+■

=…=■+■=■=右边.

点评：（1）与杨辉三角有关的问题往往可以转化为数列问题和组合数问题.（2）注意二项式系数性质■=■，■=■+■的应用.

三、古代诗文与高考数学

例5. 上下五千年，华夏文化源远流长，我国古代诗文堪称世界一绝.将古代诗文与现代数学交融在一起，不仅增强了数学试题的“文化味”，给人以耳目一新的感觉，而且体现了不同门类知识之间的相互联系，能更好考查考生的综合素质.

回文诗是我国古典诗歌中一种较为独特的体裁，据唐代吴兢《乐府古题要解》的释义是：回文诗，回复读之，皆歌而成文也.如湖北咸丰县有一首《万柳堤即景》回文诗：春城一色柳垂新，色柳垂新自爱人. 人爱自新垂柳色，新垂柳色一城春.此诗读来朗朗上口，又前后对称，堪称一绝.殊不知，古文里有回文诗，数学里有回文数.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则

（Ⅰ）4位回文数有个；

（Ⅱ）2n+1（n∈N？鄢）位回文数有个.

解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1～9）种情况，第二位有10（0～9）种情况，所以4位回文数有9×10=90种.故答案：90.

（Ⅱ）法一：由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9×10n.

法二：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00，11，22，…，99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导S2n=10S2n-2，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0～9这十个数，因此S2n+1=10S2n，则答案为9×10n.

点评：本题有回文诗引出一个新定义背景下的排列创新题，与新教材“推理与证明”相吻合，考查了考生的分类讨论思想和排列运算能力，命题中同时也渗透了数学文化，是一个值得大家引起注意的好题.

例6. 欧阳修的《卖油翁》中写道：（翁）乃一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”. 卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为6cm的圆，中间有边长为3cm的正方形孔，请你随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是________.

解析：由题意知，直径为6cm的圆的圆的面积为S=π×（■）2=9πcm2.

而边长为3cm的正方形的面积s=3×3=9cm2.

由几何概型的计算公式得所求概率P=■=■=■.

故答案：■.

点评：本题以古文欧阳修的《卖油翁》为入题点考查几何概型，设计圆与正方形的面积的计算，难度不大，却将语文与数学交汇在一起，增强了试题的“文化味”.

四、名人轶事与高考数学

数学思想与方法，是数学文化的一个重要组成部分，而它的产生往往离不开数学家超常的智慧，也离不开人们社会活动的经验.而名人轶事折射出的数学思想与方法，可以说是数学解题的“航标”. 一类与名人轶事交融的数学问题，能彰显丰富的数学思想和数学文化.

例7. 一次数学课上，老师让学生练习算数.于是让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+…+100的得数.全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51），一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数.后来人们把这种简便算法称作高斯算法.请用高斯算法解下面问题：

已知函数f（x+■）=■，则f（■）+f（■）+f（■）+…+f（■）=_______.

解析：高斯算法的本质就是合理配对相加，并发现所求项的和的n项中第i项与第n-i+1项的和是定值.本题共有项相加，从题意看出，只需发现f（x）+f（1-x）是定值，且求出这个定值，就可利用高斯算法解答本题.

因为f（x+■）=■=2+■，所以f（-x+■）=2-■.

所以f（x+■）+f（-x+■）=4，即f（x）+f（1-x）=4.

所以f（■）+f（■）+f（■）+…+f（■）

=[ f（■）+ f（■）]+[ f（■）+ f（■）]+…+

[ f（■）+f（■）]

=4×1008=4032.

故答案：4032.

点评：由一道题的解法迁移到一类题的解法，并触类旁通，是数学解题的最高境界，可谓“授之于鱼，不如授之于渔”，这类问题要求考生在考场上执“渔”捕“鱼”，从而更能考查考生的数学能力与数学素养.

例8. 王戎小時候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 试问从推理与证明的方法来看，王戎判断李子是苦的是用的什么方法？请用这个方法，解答求证下面问题：

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn

证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3…），则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

解析：从推理与证明的方法来看，王戎判断李子是苦的是用了反证法.

题中需证问题证明如下：

①首先{an}中的项不能是0，否则d1=a1-0=2，与已知矛盾.

②{an}中的项不能超过2，用反证法证明如下：

若{an}中有超过2的项，设ak是第一个大于2的项，{an}中一定存在项为1，否则与dn=1矛盾.当n≥k时，an≥2，否则与dk=1矛盾.

因此存在最大的i在2到k-1之间，使得a1=1，此时di=Ai-Bi=2-Bi≤2-2=0，矛盾.

综上{an}中没有超过2的项.

综合①②，{an}中的项只能是1或2.

下面证明1有无数个，用反证法证明如下：

若ak为最后一个1，则dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾.

因此1有无数个.

点评：本题待证问题具有一定难度，若想不到反证法，则往往无从下手.而本题中的“名人轶事”不仅为待证问题提供了解决问题的方法，同时也考查了推理与证明的内容，使试题具有一定的“可读性”，从而散发出浓浓的“文化味”.

五、现实生活与高考数学

无论从数学的产生还是从数学的发展看，数学与现实生活都有着密不可分的联系.华罗庚先生在《大哉，数学之为用》一文中对此作了精辟的阐述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”.利用数学知识解决突发事件与社会热点问题，既考查了考生的数学素养，同时又体现了数学的文化价值，一直是高考命题的主旋律.

例9. 2016年6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.

（1）甲轻型教授队所在方向不是C方向，也不是D方向；

（2）乙轻型教授队所在方向不是A方向，也不是B方向；

（3）丙轻型教授队所在方向不是A方向，也不是B方向；

（4）丁轻型教授队所在方向不是A方向，也不是D方向.

此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向.有下列判断：

①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.

其中判断正确的序号是__________.

解析：由（1）知，甲选A或B；由（2）知，乙选C或D；由（3）知，丙选C或D；由（4）知，丁选C或B.由于如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，故丙所在的方向是D方向.故答案：③.

点评：本题考查的知识点是合情推理与演绎推理.命题者却将问题设置在江苏盐城阜宁、射阳等地的突发事件中，让数学问题与现实生活交融，体现出数学不是孤立的，数学具有实用性.

例10. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二孩”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.

（1）求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式（注：2016年为第一年）；

（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=（1-0.01）10≈0.9）

解析：（1）由题意可知，从2016年开始到2025年每年人口数成等差数列无增长，从2026年开始到2035年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可.

当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列.故an=45.5+0.5×（n-1）.

当n≥11时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，又a10=50，所以an=50×0.99n-10.

因此，实施新政策后第n年的人口总数an（单位：万）的表达式为：

an=45.5+0.5×（n-1），1≤n≤1050×0.99n-10. n≥11

（2）求出从2016年到2035年的人口总数S20，求其平均值即可.

设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列求和公式得，S20=S10+（a11+a12+…+a20）=477.5+4950×（1-0.9910）≈972.5万.

所以新政实施到2035年年人口均值为■≈48.63<49.

故到2035年不需要调整政策.

点评：本题难度中等，考查了数列知识的实际应用.本题命题的着眼点放在当今社会的热点问题：“放开二孩”新政策和社会老龄化问题.用数列知识来诠释社会问题，体现出数学与现实的密不可分的关系.

同学们，读到这里，你是否为高考数学中隐藏着丰富的数学文化而叹为观止！你是否对这类散发着文化味儿的数学试题产生浓厚的兴趣！我国的数学史如长江黄河源远流长，数学文化似夜空中的点点繁星光芒四溢，数学文化走进高考，必将为高考数学增光添彩.

类题演练

1.《九章算术》的第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.已知在椭圆■+■=1中以焦距F1F2为“弦”的直角三角形的“勾”与“股”的交点在椭圆上，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A. （0，■） B. [■，1）

C. [■，1） D. （0，■]

2.《九章算術》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（）

A. 150 B. 160 C. 170 D. 180

3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈■L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式V≈■L2h，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

4. 将三项式（x2+x+1）n展开，当n=1，2，3，…时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为75，则实数a的值为__________.

5. 二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考察几个数并给出猜想.

类题演练答案与解析

1. 答案：B. 解析：即以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时的椭圆的离心率，此时有c≥b，即c2≥b2=a2-c2，故离心率e=■≥■.

2. 答案：C. 解析：由题知该男子每天所走里数依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9=■=9a5=1260，所以a5=140，由题知a1+a4+a7=3a4=390，所以a4=130，所以公差d=a5-a4=10，所以a8=a5+3d=170.

3. 答案：B. 解析：V=■πr2h=■L2h：，若V≈■L2h，则■=■，π=■.

4.答案：2. 解析：（x2+x+1）5展开式系数为1，5，15，30，45， 51，45，30，15，5，1.所以在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a=75，则a=2.

5. 解析：取自然数6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.

取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1.

取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→…→1.

归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1.

责任编辑徐国坚

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