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标题 三角形中位线的妙用
范文

    李杨

    中图分类号:G633.64文献标识码:A文章编号:1992-7711(2019)14-046-1

    北师大版《数学》在八年级删减了“平行线等分线段”及“平行线分线段成比例”定理,刚开始让我们老师有些茫然,但没想到正因为这一删减,在九年级上册第三章《证明》“三角形的中位线”,却收到了意想不到的结果。

    传统教材与新教材对“三角形中位线”定理的证明,都是采用作辅助性构造平行四边形,再无新意。而初学新教材的学生却首次提出不作辅助性,利用三角形相似即可证明,让人眼前一亮。

    定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半

    已知:如图1中DE是△ABC的中位线

    求证:DE∥BC,DE=1/2BC

    证明:∵DE是△ABC的中位线

    ∴AD/AB=AE/AC=1

    又∵∠DAE=∠BAC

    ∴△ADE∽△ABC

    ∴DE/BC=AD/AB=1/2

    即DE=1/2BC

    ∴∠ADE=∠ABC

    ∴DE∥BC

    同样,教材P87“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理,新旧教材仍均是采用构造矩形来证明的。但这种证明,学生,包括老师均难以想象,难以接受。学了“三角形的中位线”,学生的思维又不得不让你惊叹。

    定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

    已知:如图2中直角△ABC中,∠ABC=900,BE是AC边上的中线

    求证:BE=1/2AC

    证明:作AB的中点F,连接EF

    ∴EF是△ABC的中位线

    ∴EF∥BC

    又∵∠ABC=900

    ∴∠AFE=∠BFE=90°

    又∵AF=BF,FE=FE

    ∴△AFE≌△BFE

    ∴BE=AE

    又AE=EC

    ∴BE=1/2AC

    有了這种证明,你能想到它的逆定理的证明吗?

    逆定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

    已知:△ABC中,AE=CE,且BE=1/2AC

    求证:∠ABC=900

    证明:作AB的中点F,连接EF

    ∵BE=1/2AC,AE=CE

    ∴BE=AE

    又∵BF=AF,EF=EF

    ∴△AFE≌△BFE

    ∴∠AFE=∠BFE=90°

    又BF是△ABC的中位线

    ∴EF∥BC

    ∴∠ABC=∠AFE=90°

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更新时间:2025/3/10 16:35:15