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平面解析几何中的易错点剖析

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平面解析几何是高中数学的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，涉及的知识甚多，同时易错点也较多.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习的效率.本文从剖析解析几何的典型易错知识与方法的角度加以分析，为同学们在以后的复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.

易错点1：基本概念理解偏差致错

例1 经过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程是 .

错解：由题意，所求直线方程为xa+yb=1，由（2，1）在直线上得2a+1b=1及ab=8，

得a=4，b=2，故所求直线方程为x+2y=4.

错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab.

正解：所求直线方程应为：x+2y=4，

或（2+1）x-2（2-1）y-4=0，

或（2-1）x-2（2+1）y+4=0.

评注：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，理解入陷阱，易致错.

易错点2：知识掌握不重细节致错

例2 过点（2，2）且横、纵截距相等的直线方程 .

错解：设所求方程为xa+ya=1，将（2，2）代入得a=4，得直线方程为x+y-4=0.

错因分析：上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（2，2）的直线y=x也符合条件，主要审题不全致错.

正解：x+y-4=0或x-y=0.

例3 过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程 .

错解：设直线斜率为k，其方程为y-2=k（x+4），则与x轴的交点为（-4-2k，0），

∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.

故所求直线的方程为x+5y-6=0.

错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x=-4也符合题意.

正解：x+5y-6=0或x=-4.

评注：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.

易错点3：题目条件审视不全致错

例4 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.

错解：将圆的方程配方得：

（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，

因为其圆心坐标为C（-a2，-1），半径r=4-3a24，当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|>r，即（1+a2）2+（2+1）2>4-3a24.即a2+a+9>0，解得a∈R.

错因分析：本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|>r，却忽视了a的另一制约条件4-3a2>0.

正解：圆方程为（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，由a2+a+9>0及4-3a2>0，

可得a的取值范围是（-233，233）.

评注：审题的关键环节挖掘问题的隐含条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.

易错点4：忽视定义中的限制条件致错

例5 已知定圆F1：（x+5）2+y2=1，圆F2：（x-5）2+y2=16，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心的轨迹方程.

错解：由F1：（x+5）2+y2=1，F2：（x-5）2+y2=16，设圆M半径为r，则MF1=1+r，MF2=4+r，故MF2-MF1=3<|F1F2|=10，知M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a=3，a=32，c=5;b2=c2-a2=914，故M的轨迹方程为：x294-y2914=1.

错因分析：上述解法将MF2-MF1=3看成|MF1-MF2|=3，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.

正解：在上述解法中添加：应在上述解法中添加：由于MF2-MF1=3，知MF2>MF1，点M的轨迹是双曲线的左支，故M的轨迹方程为：

x294-y2914=1（x≤-32）.

评注：直线与圆、圆锥曲线的定义，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，如果不注意一些限制条件，容易致错.

易错点5：考虑问题不周全所致错

例6 若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 .

错解：直线与坐標轴的交点为（0，1），（-2，0），由题意知，c=2，b=1，

∴a2=5，所求椭圆的标准方程为x25+y2=1.

错因分析：求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，误以为给出方程的椭圆直接在x轴上，而直接设方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），忽略了焦点在y轴上的情形.

正解：直线与坐标轴的交点为（0，1），（-2，0），

由题意知当焦点在x轴上时，c=2，b=1，

∴a2=5，所求椭圆的标准方程为x25+y2=1.

当焦点在y轴上时，b=2，c=1，

∴a2=5，所求椭圆标准方程为y25+x24=1.

评注：椭圆标准方程一般有两种情形：一是焦点在x轴上，二是焦点在y轴上.如果焦点位置不明确，那么有两种情形分类讨论.有时当椭圆焦点位置不明确时，也可设为x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n），也可设为Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）.

易错点6：偏重技巧忽视本质致错

例7 已知双曲线x2-y22=1，问过点A（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

错解：假设符合题意的直线l存在，并设P（x1，x2）、Q（x2，y2），

则x21-y212=1（1）x22-y222=1（2）

（1）-（2）得

（x1-x2）（x1+x2）=12（y1-y2）（y1+y2）（3）

因为A（1，1）为线段PQ的中点，

所以x1+x2=2（4）y1+y2=2（5）

将（4）、（5）代入（3）得x1-x2=12（y1-y2）（6）

若x1≠x2，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，

所以符合题设条件的直线l存在，其方程为2x-y-1=0.

错因分析：（3）式成立的前提下，由（4）、（5）两式可推出（6）式，这是很多同学都十分熟悉的“点差法”，这种“设而不求”的解题技巧虽简化了解题过程.但忽视了大前提：必需两根都存在，要用判别式去检验！

正解：应在上述解题的基础上，再由y=2x-1x2-y22=1 得2x2-4x+3=0，根据Δ=-8<0，

说明所求直线不存在.

评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过联立方程组，用判别式来判别解的情况是前提.一些技巧性的解法，虽简化了过程，但忽视了本质，易致错.

（作者：朱振华，江苏省海门中学）

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