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标题	用等比数列对秒针分针相遇问题再探讨
范文	徐飞翔 在辅导资料中有这样一道题： 一般指针式钟表中的时针、分针与秒针都可视为匀速转动，分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为 A.1 min B. 59/60 min C. 60/59 min D.61/60 min 解析 本题是一道经典的圆周运动的追及问题.常规思路是秒针再次和分针重合，必定秒针比分针多转了一周即2π弧度，设秒针的角速度为ω1 分针的角速度为ω2，ω1=2π1min-1 ，ω2=2π60min-1 . 由圆周运动的追及条件，列方程得：（ω1-ω2）t=2π，则得 t=6059min. 故答案为：C. 这种解法比较常规，在有的物理类期刊中，也有介绍圆周运动的追逐和相遇问题，这里就不再赘述. 而上述习题在该资料中所给的答案是这样分析：秒针转动一周回到原出发位置的时间是1分钟，但此时分针也向前转动了一分钟（160圈），秒针要跟分针再次重合，需要继续前进一格（160圈），故D正确. 显然第一种解法是没有问题的.为什么两种解法的结果不同呢？那么第二种解法的错误原因何在？这里我们对本题辅导资料中所给的答案重新分析，来探究其中的问题. 本题可以运用数学归纳的方法来分析.我们先来进行逻辑推理，分针转一周要60分钟，秒针转一周需要时间1分钟.也就是说从重合处出发再经过1分钟秒针回到原位置，而分针已经从原位置前进了160周，秒针再用160分钟前进160周，而分针又前进了1602周，秒针再用1602分钟前进1602周，依次递推，当分针前进160n周时，秒针再往前追160n周用时间160n分钟，直到重合为止.由此可知，秒针追上分针所用的总时间为： t=1+160+1602 +1603+…+160n（单位：min）这里n→∞. 观察此表达式可知，此表达式为等比数列求和，联系等比数列求和的通项公式Sn=a11-qn1-q；这里a1=1， 公比q=160，即得：t=a11-qn1-q ，代入数据：t=1×1-160n1-160 ；当趋近于无穷大， t=6059min. 总结：该辅导资料上所给的答案，只考虑到秒针转动一周，分针跟进六十分之一圈的情况，而没有继续向下考虑，秒针跟进，分针继续转动的情况，从而导致错误结论.在本题中根据实际情况，结合数学知识，进行递推、分析、归纳得出规律，然后，利用等比数列，列出方程，得到结论.在物理习题教学中抓住问题的生成，择机渗透数学知识，促进物理与数学知识的融合，对于培养学生的综合思维能力，不同学科的整合能力，为学生的能力发展提供思维的空间.可以把上述问题继续拓展，发展学生的思维. 拓展1 若上述问题中，秒针与分针从重合时计算，到秒针与分针夹角成π弧度时，需多长时间呢？ 分析 若仍用第一种解法，结合圆周运动的追及相遇问题的思想，则有（ω1-ω2）t=π，则得 t=12×6059min=3059min. 那么，运用第二种方法如何分析呢？可以这样来思考，秒针和分针都是均匀的匀速转动，从重合时开始，转到夹角为π时，应该为从重合时开始到再次重合（即夹角为π时）所用的时间的一半.仍然由前面的等比数列公式求得时间，乘以1/2即可. 下面我们把前面的问题拓展到任意的情况. 拓展2 若上述问题中，秒针与分针从重合时计算，到秒针与分针夹角成θ弧度时，需多长时间呢？ 分析 若仍用第一种解法，结合圆周运动的追及相遇问题的思想，则有（ω1-ω2）t′=θ， 则得： 夹角）的匀速直线运动，所以x=v真实 cosθt. 竖直方向为竖直上抛或竖直下抛运动，仍是匀变速直线运动，所以yBC -yAB =gT2.两式联立得 v实际 =xcosθByBC -yAB . 由此可见无论是斜上抛还是斜下抛测量值均偏小. 2 完整轨迹 2.1 斜下抛时 在轨迹上任取一点，其横、纵坐标分别为x，y（图2）. 理论上：水平方向为v0的匀速直线运动，所以 x=v测量 t. 竖直方向为自由落体运动，所以y=12gt2.两式联立得 v测量 =xB2y. 实际上：水平方向为v0cosθ （θ是v0与水平方向夹角）的匀速直线运动，所以 x=v真实 cosθt. 竖直方向为竖直下抛运动，所以 y=v实际 sinθt+12gt2. 两式联立得 v实际 =xg2ycos2θ-xsin2θ， 比较上述两个结果可得测量值偏小. 2.2 斜上抛时 理论上：水平方向为v0的匀速直线运动，所以 x=v测量 t. 竖直方向为自由落体运动，所以y=12gt2. 两式联立得v测量 =xg2y. 实际上：水平方向为v0cosθ（θ是v0与水平方向夹角）的匀速直线运动，所以x=v真实 cosθt. 竖直方向为竖直上抛运动，所以 -y=v实际 sinθt-12gt2. 两式联立得 v实际 =xg2ycos2θ+xsin2θ， 当2ycos2θ+xsin2θ>y即xy>tanθ时测量值偏大，当2ycos2θ+xsin2θ由于我们初速度的测量是通过v0=xt进行计算的，其中x是水平位移，t是通过竖直运动的测量计算得出.在利用不完整轨迹求时间时无论是平抛、斜上抛还是斜下抛，由于竖直运动都是匀变速直线运动所以都可以用yBC -yAB =gT2求，水平位移x除以时间得到的是水平速度，所以和初速度比一定偏小；在利用完整轨迹求时间时理论上是用自由落体运动求，但实际上在斜下抛运动中由于具有向下的分速度所以由自由落体运动求出的时间偏大，这样求出的速度小于水平分速度，更小于初速度，所以也是一定偏小；在斜上抛运动中由于具有向上的分速度所以用自由落体求出的时间偏小，这样求出的速度大于水平分速度，但不一定大于初速度， 当xy>tanθ时测量值偏大，此条件下由于运动的时间短时间测的误差大，使结果偏大，当xy综上可以发现三种情况有三种不同的结论：第一种情况下测的就是水平速度，第二种情况下测的不是水平速度但一定比水平速度小，第三章情况下测的不是水平速度但比水平速度大，而对应的结论是前两种情况下一定偏小，第三种情况下可能偏大也可能偏小.由此可见殊途未必同归.例如在探究弹簧弹力与弹簧伸长量的关系时，如果忘记减弹簧原长了，在利用F=kx计算k值时结果会偏小，而利用F-x图象的斜率求就不受影响，同样在利用单摆测定当地重力加速度的实验中忘记测小球半径，不同的数据处理方法会有不同的结果.所以我们一定要明确实验原理，明确理论上如何计算，实际上应该如何计算，然后进行对比，做到实事求是.殊途不能同归，但同样能做到加深学生对所学知识的深刻理解、锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性.
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