标题 | 连续函数零点个数的判别准则 |
范文 | 朱鹏先 项巧敏 摘 要 本文主要研究连续函数的零点问题。运用函数的单调性、极值以及介值定理等技巧给出判别函数零点个数的充分条件,具体地,分别给出函数具有2和3个零点的判别情况。最后给出具体例子加以验证我们的结果。 关键词 零点 连续 介值定理 极值 中图分类号:G634文献标识码:A 0引言 在本科高等数学的教学中,介值定理非常重要。介值定理可以直接应用于判断函数零点或者方程根的个数。在数学竞赛以及考研中,研究函数的零点或者方程根的个数是一个很常见且最基本的题目。于是研究函數的零点问题具有理论意义。本文借助介值定理,系统地归纳总结出函数具有两个和三个零点的判别准则。 1预备知识 定义1:如果,则称为函数的零点。 定义2:如果为函数的极值,则称为函数的极值点。 引理1:(介值定理)若函数在上可导,在上连续,则至少存在一个点,使得。 2主要结果 定理1:若函数在上可导,在上连续且函数在区间上有一个极值点, (1)当为极大值点时,如果,,则函数在区间上存在两个零点和; (2)当为极小值点时,如果,,则函数在区间上存在两个零点和。 证明:(1)因为在上可导,在上连续, 所以在上可导,在上连续。 又因为,所以,。 于是,由引理1可得,至少存在一个点,使得。 观察到,在区间上严格单调递增。因此,是唯一的。 注意导在上可导,在上连续且。 所以,再一次运用引理1可得,至少存在一个点,使得。 由于在区间严格单调递减,从而得到也是唯一的。 综上所述函数在区间上存在两个零点和。 (2)同理,可得结论成立。 推论1:当或者,定理1的结论仍成立。 定理2:已知函数在上可导,在上连续,在区间上有两个极值点和。如果(或)且,则函数在区间上存在两个零点。 证明:不失一般性,我们假设是极大值点,是极小值点且,其他情况可以运用相似的方法讨论。由假设可知函数的图像如图3示: 显然是函数的一个零点。 因为,在上可导,在上连续且。 所以,运用引理1可得,至少存在一个点,使得。 由于在区间上严格单调递增,从而,是唯一的。 故,函数在区间上有两个零点。 推论2:当或者 ,定理2的结论仍成立。 定理3:假设在上可导,在上连续,在区间上有两个极值点和。如果,且,则函数在区间上存(下转第208页)(上接第202页)在三个零点。 证明:不妨假设是极小值点,是极大值点(其他情况可类似讨论,考略到篇幅问题,此处就不一一讨论),函数数图像如图4。 由已知条件我们知道函数在区间和上都满足介值定理的条件,于是对函数在区间和上分别运用引理1可得, 至少存在一个点,,,使得成立。 又因为函数在区间,和,所以,,是唯一的。据此,定理的结论成立。 推论3:当或者,定理3的结论仍成立。 3例子 接下来,我们给出两个实例来验证我们的定理结果: 例1:验证方程在区间上有且只有两个根。 证明:设, 易知,故,由定理2可得函数在区间上有两个零点,即,原方程在区间上有且只有两个根。 例2:设,试证明函数在内恰好有两个零点。 证:,, 而,令,则, 当时,,单调增加;当时,,单调减少, 所以在处取得极大值且。 故,由推论1可得,函数在内恰好有两个零点。 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析:上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001. [2] 同济大学数学系.高等数学:上册(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014. |
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