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定积分一个对称性质的推广

范文

李梦詹毅

【摘要】本文用对称性解释了高等数学中的一个常见定积分等式，且从几何体形变的观点给出了这个等式的几何意义，还推广这个等式到更一般的两个新形式，并运用这个一般形式简化较复杂定积分的计算.

【关键词】对称性;定积分;几何意义

【中图分类号】O177.5【文献标识码】A

【基金项目】重庆工商大学教育教学改革研究项目（2019224）

一、引言

我们在解题时利用被积函数在积分区间上具有的某些对称性，往往能够起到化繁为简的作用，甚至能够计算被积函数没有初等原函数的某些定积分.本文关注高等数学中的一个常见等式∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.这个等式一般是用变量代换加以证明的.首先，我们从对称性的角度来推导这个等式.然后通过适当的变形，等式的两边可以分别看作旋转体的体积和柱体的体积，旋转体的体积可用套筒法求得，从而获得这个等式的几何意义.最后给出这个等式更具一般性的新形式，并通过一个例子来说明推广的一般形式在定积分计算中的应用.

二、对称性解释及几何意义

回顾函数奇偶性的几个性质：

1.若函数f（x）定义在区间[0，a]上，且有f（x）=f（a-x），则函数是关于区间中点的偶函数;

2.若有f（x）=-f（a-x），则函数是关于区间中点的奇函数;

3.奇函数乘偶函数是奇函数.

比如，在[0，π]上f（sinx）是关于区间中点的偶函数.由定积分的几何意义可知，若被积函数关于积分区间中点是奇函数，则定积分为0，如图1所示.

图1被积函数关于积分区间中点为奇函数

由f（sinx）在[0，π]上关于区间中点是偶函数，π2-x在[0，π]上关于区间中点是奇函数，可知π2-xf（sinx）在[0，π]上关于区间中点是奇函数，从而由定积分的几何意义可知

∫π0π2-xf（sinx）dx=0，

展开立得[1]

∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

（1）

（1）式在《微积分》《高等数学》《数学分析》等教材中用来解决被积函数没有初等原函数的某些定积分.在（1）式两边都乘2π，等式变为

∫π02πxf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.

上式的左边可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积（旋转体的体积用套筒法即得），如图2，上式的右邊可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形为底，高为π2的柱体的体积，如图3.

（1）式的几何意义为：图2的旋转体沿着某条半径切开可以展开为如图3的柱体.

三、等式的一般形式及应用

（1）式的结果可以进一步推广：

命题1设f（x）是定义在区间[0，a]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有

∫a0xf（x）dx=a2∫a0f（x）dx.（2）

证明作变换，t=a-x.注意到f（x）是关于区间[0，a]中点的偶函数，从而有f（t）=f（a-t），立得.

更一般地，有：

命题2设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有

∫baxf（x）dx=a+b2∫baf（x）dx.（3）

例1求定积分∫0-1xx2+x+1dx.

解一般解法是采用三角代换求解被积函数的原函数.

∫xx2+x+1dx=∫xx+122+34dx，

令x+12=32tant，代入上式可得

∫xx+122+34dx

=34∫32tant-12sec3tdt

=34·32∫tantsec3tdt-34·12∫sec3tdt

=38sec3t-316secttant+∫sectdt

=38sec3t-316secttant+ln|sect+tant|+C，

由x+12=32tant可得

tant=2x+13，sect=2x2+x+13，

代入上式即得

∫xx2+x+1dx=13（x2+x+1）32-

14x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

因此，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

利用命题2可简化计算.

另解：由命题2可知

∫0-1xx2+x+1dx=-12∫0-1x2+x+1dx，

令x+12=32tant，代入上式易得

∫x2+x+1dx=34∫sec3tdt

=38[secttant+ln|sect+tant|]+C.

把tant=2x+13，sect=2x2+x+13代入上式即得

∫x2+x+1dx=12x+12x2+x+1+

34lnx+12+x2+x+1+C，

同样可得，

∫0-1xx2+x+1dx=-141+34ln3.

另外，若f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，但它关于区间中点不具有奇偶性，但是

f（x）+f（a+b-x）=g（x）（3）

是一个关于区间中点的偶函数，则易得下面的结论：

命题3设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，f（x）+f（a+b-x）=g（x）是关于区间中点的偶函数，则有

∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx.（4）

证明令F（x）=f（x）-12g（x），可知

F（x）+F（a+b-x）

=f（x）-12g（x）+f（a+b-x）-

12g（a+b-x）=f（x）+f（a+b-x）-

12[g（x）-g（a+b-x）]=0.

最后一步由g（x）是关于区间中点的偶函数以及f（x）+f（a+b-x）=g（x）得到.从而可知F（x）是关于区间中点对称的奇函数，积分即得结论.

例2求∫10xex+e1-xdx.

解令f（x）=xex+e1-x，易知f（1-x）+f（x）=1-xex+e1-x+xex+e1-x=1ex+e1-x是关于区间[0，1]中点上的偶函数，从而由（4）式可知

∫10xex+e1-xdx=12∫101ex+e1-xdx

=12∫10exe2x+edx

=12e∫10dexeexe2+1

=12earctane-arctan1e.

四、结论

本文用对称性性质重新推证一个定积分等式.在等式两边同乘2π后等式左右两边可以分别看作是旋转体和柱体的体积，从而获得这个等式的几何意义.我们还导出这个等式的一般形式并运用它来简化某些定积分的计算.

【参考文献】

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）第二版[M].北京：高等教育出版社.2004.

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