标题 | 一道课本习题改编的一组高考题 |
范文 | 李瑞杰 [摘 要] 高考卷向来重视对教材例题、习题的挖掘、引申和改造,体现“深入教材,又高于教材”,做到重基础、考能力. 教师要引导学生抓纲靠本,强调变式,培养思维的灵活性和创造性. [关键词] 高考;课本;改造 笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版,在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考,往往未受到教师和学生的重视. 但是,此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料,甚至也可以丰富学生解题思路和技巧. [?] 海伦—秦九昭公式 在解三角形的问题中,一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到公式S=,其中p=(a+b+c). 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式,称此公式为海伦公式. 其实,我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”,秦九韶的算法相当于:S=,其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样,但两者是完全等价的,实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”. [?] 海伦公式的证明 笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容,并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种. 方法1:△ABC的三边长分别为a,b,c,则有三角形的面积公式可得S=absinC=ab,再由余弦定理可得S=ab 化简得S=,令p=(a+b+c),于是有 S=,海伦公式得证. 方法2:如图1,△ABC的三边长分别为a,b,c,AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB=,所以,AD2=AB2-BD2=c2- . 由于S=·BC·AD=a·=, 可由平方差公式化简可得S=·,令p=(a+b+c),于是有S=,海伦公式得证. 点评:学生以上的两种种证明方法思路简单,利用所学求三角形面积的基本知识,以及余弦定理,将角度转化为边长,这样可以使得最后推证的公式中无角度,只存在边长,化简过程较复杂,需要学生细致、耐心的计算,有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力. 第二种证明方法需要说明:图1中的高AD在三角形的内部,根据三角形知识可知,若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高,则此时高AD则会在三角形的外部(如图2),那么此时BD= ccos(π-B) = ,也可推证出海伦公式. 也可理解为:即使△ABC为非锐角三角形,過最大内角作对边的高,那么此时高一定在三角形内部,按照此种证明方法海伦公式也可得证. [?] 海伦公式的两个推论 推论1:已知三角形的三边长为a,b,c,设p=(a+b+c),可得三角形的内切圆半径r=. 证明:如图3,圆O为△ABC的内切圆,内切圆半径为r,则有 S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=cr+ar+br. 由海伦公式可得S△ABC==(a+b+c)r=pr,证得 r=. 推论2:设边AB,BC,CA上的高分别记为hc,ha,hb,可得 ha=,hb=·, hc=. 证明:因为S△ABC=ah=,可证得 ha=,同理可证推论2成立. |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。