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高中数学函数问题多元化解题思路探讨

范文

赖伟红

摘要：数学作为高中的重点科目之一，函数更是重中之重，对培养学生良好思维品质具有重要的意义。为此，为提高学生的函数解题能力，提升数学素养，本文将采用多元化解题方法，从多个角度、多个层面进行引导启发，旨在通过发散思维、创新思维、开放思维的培养，提高数学学习能力，加深对函数知识的掌握，提高问题解决能力。

关键词：高中数学;函数问题;多元化思维;解题思路

中图分类号：G623.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）06-074

解决数学问题，其实就是解决数量问题的一个过程，旨在通过探究题目中有关数量关系和数量结构，探寻最佳解题思路[1]。但是，若是将解题思路禁锢于一个固定的模式，思维便会非常被动，导致学生无法对所给出的信息进行判断和分析，从而出现解题失误的现象。为此，为提高函数问题解决能力，本文将以多元化解题教学为辅助，通过培养发散思维、创新思维、开放思维等，提高函数课堂教学质量，培养学生良好的数学思维品质。

一、高中函数多元化解题思路的意义

数学与我们日常生活有着紧密的关联，在高中新课程标准中提到：在教学的时候，要创造性、灵活性地进行教学引导，培养学生数学思维能力，提升数学素养[2]。而函数作为数学学习的重点、难点，函数问题解题思路的多元化实施，既可以培养学生的创新创造能力，又可以发散思维，提高解题效率。同时，在高中函数问题多元化解题教学中，教师可以引导学生从多个角度、多个层面进行问题分析，既可以提高逻辑能力，又可以提升数学素养，为培养学生数学学习自信心打下坚实的基础。由此可见，其运用的意义。

二、高中函数多元解题思路的原则

1.主体性原则

对于教育教学而言，学生是课堂教学的主体，不论是教学内容的设计，还是教学方法的运用，其根本目的是促进学生发展，培养数学思维能力。为此，在高中函数多元化解题教学中，为提高学生的问题解决能力，在教学的时候，要遵从主体性的原则，根据学生的思维发展特点，深入数学本质，利用多个方法进行问题引导，在多方法，多思路解题分析的过程中，加深对函数知识的理解和掌握，从而提高函数课堂教学质量。

2.关联性原则

函数是数学学习的重要组成部分，对于高考而言，在解析函数问题的时候，经常会考察多个知识点，是基于知识整合进行的问题设计。这就要求，在解析函数问题的时候，要遵从其各个知识点之间关联性的原则，从多个知识层面、多个角度进行分析探索，在关联引导的过程中，促进对知识的灵活应用，通过多元化解题教学，提高函数问题解决能力，帮助学生构建完整的知识体系。

三、高中函数多元化解题思路的路径

1.关联多个知识，发散思维

函数在数学教学中占据的比例非常大，与各个知识点之间都有着潜在的关联性[3]。在高中数学新课程标准中提到：在教学中，要培养学生良好的数学思维品质，整合所学知识，使其能够灵活运用知识解决数学问题。为此，在教学的时候，为渗透多元化解题教学法，可以关联多个知识点，从多方面学习内容入手，发散思维，在多元解题中，促进对知识的灵活应用，从而提高函数问题解决能力。

例如，在解析函数最值问题时：

求函数y=3x-1+8-2x的最大值。

【解题分析】在运用多元化解题的时候，首先，可以利用线性规划的知识进行引导，将此函数看作目标函数，进行求解，然后根据目标函数的形式，将原函数进行转化，找到可行域，找到其满足的关系，进行求解分析。其次，可以利用平面向量有关知识，将函数问题看做形似两个平面向量的坐标，找到不等关系，利用平面向量数量积的定义进行求解，最后，从代数知识进行分析。通过多个知识领域的解题分析，创新解题思路，提高函数问题解题质量，如：

解法一：

将函数y=3x-1+8-2x看作目标函数，根据目标函数形如z=ax+by，将原函数进行转化，如：u=x-1，v=4-x，得到：y=3u+2v

然后找到其可行域，通过寻找u和v满足的关系形成的区域进行求解，在此过程中，可以回到原题中，得到定义域为：

x-1≥0

8-2x≥0 → x∈[1，4]

根据u，v是x的函数，得到u=x-1∈[0，3]，v=4-x∈[0，3]，通过观察函数可以得到可行为：

0≤u≤30≤v≤3u2+v2=3

随后将y=3u+2v转化为u=-23V+y3，求解y的最大值，也就是求函数u的最大值，随后作目标函数与圆的函数图像，发现在第一现象相切的时候取得最大值，

由d=︱-y︱9+2=y11=3，y=33.

解法二：

函数y=3x-1+8-2x的定义域为[1，4]

令a=x+13，b=8-2x2

则：y=9a+2b

可知：9个a与2个b的平均数n=y11，

得到方程s2=9a2+2b211-（y11）2=311-（y11）2≥0

得：y2≤33

当且仅当a=b=y11，即x=3811时y最大，为33。

解法三：

将函数y=3x-1+8-2x先化简得到：y=3x-1+24-x

從平面向量角度出发，令a=（3，2），b=（x-1，4-x）

则y=a·b，求y的最大值，可以先得到y=3x-1+24-x≤c（c为常数），然后通过寻找不等关系，根据平面向量数量积的定义：

a·b=︱a︱×︱b︱×cos〈a，b〉，由cos〈a，b〉∈（-1，1）得到不等关系：

y=a·b=︱a︱×︱b︱×cos〈a，b〉≤︱a︱×︱b︱

当且仅当两向量同向时取得等号，根据平面向量模的计算公式，得到y的最大值为33。

设计分析：通过多个知识领域的深入探究，在多角度解题分析，多视角、多层面解题探索中，引导其灵活运用所学知识和数学方法进行解题，在多个知识探索学习的过程中，开阔学生视野，提高对函数问题的认识。以此来促进高效教学，提高学生的数学函数解题能力。

2.创设多个方法，开放思维

在高中数学教学中，提高解题能力，让学生掌握数学思想和数学方法是关键。对于函数解题教学也不例外，为培养学生开放思维，加深对函数知识的掌握和理解，提高问题解决能力，可以创设多个方法为辅助，融入数学思想，深入数学本质，在多方法探究中，使其能够创造性地进行问题分析、探索。

例如，在解决这一函数问题：

已知

f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0

，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）

A （-∞，0]B （-∞，1]C [-2，1]D [-2，0]

【解题分析】在解析这一问题的时候，根据题意，可以看出此题所涉及到的函数有y=|f（x）|和y=ax，那么，在解题的时候，首先便可以采用数形结合的方法为辅助，以函数图形为基准，培养数形分析能力。然后，让学生观察问题本质，关联题意，将不等式|f（x）|≥ax的绝对值符号除去，利用分类讨论法进行求解。通过数形结合思想和分类讨论等数学思想的渗透，在多元解题中，开放思维。如：

解法一：探测数形，分类讨论

根据问题，让学生做出有关函数图像，如图：

在作图完成之后，可以得到y=ax是过原点的一条直线，然后按照题意，得到：

直线y=ax在函数y=|f（x）|的图像的下方或有公共点。

在基础分析完结之后，根据|f（x）|≥ax等进行分类讨论：

当a<0时，可以知道，即使a很小，但是如果正数x足够大，那么，直线y=ax和y=|f（x）|的图像相交后，会位于y=|f（x）|的图像的上方。

当a=0的时候，满足。

当a>0，根据两个函数相切的情形，进行联立方程组，消除y，可以得到x2-（2+a）x=0，然后由△=（2+a）2=0，可以得到a的值，最后再结合数形，可以知道a∈（-2，0）时满足，然后综合以上，可以得到正确选项为D。

解法二：分类讨论，代数结合

就x≤0，和x>0进行分类讨论，解除进行代数分析，如：

当x≤0时，不等式|f（x）|≥ax，得到x2-（2+a）x≥0，根据二次函数相关知识，可以得到：2+a2，a≥-2。

当x>0，|f（x）|≥ax，ln（x+1）-ax≥0，然后通过构造函数的方法，得到：

g（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=1x+1-a。

然后分析a的情况：

①a≤0，g（x）>0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）>g（0）=0，满足。

②a>0，g（x）在（0，1a-1）上单调递增，在（1a-1，+∞）上单调递减，当x>x0时，ln（x+1）ax，a>0，不满足。综合以上选D。

设计分析：在此次解题教学中，运用了分类讨论法和数形结合、代数等方法，都是基于培养学生数学思想，使其掌握解题方法为目标进行多元化教学，既可以让学生认识函数问题解题本质，又可以在数形探索、分类讨论、代数学习中，提高数学思维能力，在开放性解题中，促进思维多元发展。由此可见，多方法解题，对提高函数教学质量，提高学生数学素养具有良好的促进作用，在具体实践的时候，可以充分利用数学思想和数学方法为辅助，紧扣课标要求，立足学生思维发展特点，在多元解题中，提高函数教学质量。

综上所述，高中数学函数问题多元化解题教学，对提高学生的问题解决能力，培养数学思维能力，提高数学素养具有重要的意义。在具体实践中，教师要重视多元化解题教学，开阔视野，解放思维，通过关联多个知识点、多个角度分析、多个方法探寻等，发散思维、创新思维、开放思维，在提升思维能力的基础上，提高解题能力，满足学生学习发展需求，促进学生全面发展。

参考文献：

[1]張红曼.高中数学函数问题多元化解题思路探讨[J].试题与研究，2020（35）：71-72.

[2]姜业锋.高中数学函数解题思路的多元化探讨[J].文理导航（中旬），2020（9）：7-8.

[3]马振海.解读高中数学函数解题思路多元化的方法[J].新课程，2020（33）：135.

（作者单位：广东省清远市英德市第一中学，广东清远 513000）

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