标题 | 因式分解应用攻略 |
范文 | 宋扬 [摘 ?要] 因式分解的重要性,主要体现在其应用领域的广泛性和应用方式的灵活多样. 基于精心培育数学核心素养和学科能力,文章结合教学实践和专题研究,对因式分解应用的常用领域和应用方式的主要类型加以归纳整理,并通过若干典型实例及其解析,阐释了因式分解应用的总体策略、具体对策、方法和技巧. [关键词] 因式分解;应用;综合运用 因式分解是整式与多项式乘法的逆向运用,是一种非常重要的恒等变形. 它不仅是学习后续课程(诸如分式的运算或化简、方程的求解、不等式的求解等等)必备的基础知识,而且体现了一种“化归”的思想,為数学交流、有效转化、解决问题架起了坚实的桥梁. 因式分解的应用相当广泛,数学的很多领域,往往都要用到因式分解. 另一方面,其应用方式具有较强的灵活性. 为了解决问题的需要,不必限于整体的因式分解,还可以考虑采用局部的、分段的(含配方法)、逐段的、组合型、构造型等方式的因式分解,灵活多样,不拘一格. 因式分解应用的总体策略是:以因式分解为思路主线,针对具体问题的数学表达式的特征(或特点),选择合适的因式分解方式,实施有效转化,让问题归于解决. 相应对策分别列于以下各题之后. 用于简化复杂的数值计算 例1 计算(20193+20192-2020)÷(20193-2×20192-2017). 解答 ?设a=2019,则原式=[a3+a2-(a+1)]÷[a3-2a2-(a-2)]= = = . 类型对策:设元,让数与式相互转换. 例2 计算: . 解答 ?因为n4+64=(n2-4n+8)(n2+4n+8)=[n(n-4)+8][n(n+4)+8],则原式= = =337. 类型对策:采用逐段因式分解,有统一的分解表达式. 有时对分解式需做适当变形,以更好地发现规律. 例3 计算: . 解答 ?原式= = -1. 类型对策:分段因式分解. 用于数(或整式)的整除性研究 例4 在六位数 中,若d=a,e=b, f=c,试证:这种形式的六位数定能被7,11,13整除. 证明 ?因为d=a,e=b, f=c,所以 =105a+104b+103c+102a+10b+c=1001(100a+10b+c)=7×11×13(100a+10b+c). 所以这种形式的六位数定能被7,11,13整除. 用于处理质数与合数问题 例5 已知n是正整数,且n4-16n2+100是质数,求n的值. 解答 ?n4-16n2+100=(n2+10)2-(6n)2=(n2+6n+10)(n2-6n+10). 因为n是正整数,所以上式中两个因式均为整数,且有n2+6n+10>1,n2-6n+10=(n-3)2+1≥1. 又原式是质数,所以n2-6n+10=1,从而得n=3. 类型对策:既用到整体分解,又用了配方法. 用于求多项式的值 例6 已知a2(b+c)=b2(a+c)=2020,且a≠b,求c2(a+b)的值. 解答 ?由已知可得a2(b+c)-b2(a+c)=0,将上式左边因式分解,得(a-b)(ab+ac+bc)=0. 因为a≠b,所以ab+ac+bc=0. 从而有c2(a+b)-b2(a+c)=(c-b)(ab+ac+bc)=0. 所以c2(a+b)=b2(a+c). 又b2(a+c)=2020,所以c2(a+b)=2020. 类型对策:组合型兼构造型. 本题通过移项,组合成一个整体,再作分解. [注]例6也可构造c2(a+b)-a2(b+c),以求得结果. 用于确定多项式中的参数(字 母系数) 例7 已知x2-3x+2是x4+mx3+nx-16的因式,求m,n的值. 解答 ?由题意可设x4+mx3+nx-16=(x2-3x+2)A,其中A为整式,即x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)A. 令x=1,2,分别代入上式,得1+m+n-16=0,16+8m+2n-16=0.解之得m=-5,n=20. 类型对策:构造型. 本题使用了待定系数法中的赋值法. 用于解不定方程 例8 求方程xy-2x-3y+9=0的整数解. 解答 ?原方程可化为(x-3)(y-2)=-3,由于x,y为整数,可得x-3=-3,y-2=1或x-3=-1,y-2=3或x-3=1,y-2=-3或x-3=3,y-2=-1.所以所求整数解为x=0,y=3; x=2,y=5;x=4,y=-1;x=6,y=1. 类型对策:局部分解. 在代数相关问题推理论证中的应用 例9 求证8x2-2xy-3y2可以化为两个整系数多项式的平方差. 证明 ?由题意可设8x2-2xy-3y2=A2-B2,其中A,B为整系数多项式. 于是(2x+y)(4x-3y)=(A+B)(A-B). 不妨取A+B=2x+y,A-B=4x-3y,解得A=3x-y,B=-x+2y.从而有8x2-2xy-3y2=(3x-y)2-(x-2y)2,得证. 类型对策:构造型,借助于待定元素法. 本题满足要求的A,B不唯一. 例10 已知x3+y3+z3=(x+y+z)3,求证:x2019+y2019+z2019=(x+y+z)2019. 证明 ?将已知条件化为[(x+y+z)3-x3]-(y3+z3)=0,于是有(y+z)[(x+y+z)2+x(x+y+z)+x2-(y2-yz+z2)]=0,整理并进一步分解因式得3(x+y)(y+z)(z+x)=0,所以x=-y或y=-z或z=-x. 不妨取x=-y,則x2019+y2019+z2019=z2019,(x+y+z)2019=(-y+y+z)2019=z2019. 原题获证. 类型对策:组合型. 通过移项,组合成一个整体,然后对整体分解因式. 本题是证明条件等式的应用实例. 在三角形等几何问题中的应用 例11 已知 a,b,c是△ABC三条边的长,且满足a2-b2=ac-bc,试判断△ABC的形状. 解答 ?原等式可化为(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,于是有(a-b)(a+b-c)=0. 因为a,b,c是△ABC三条边的长,所以a+b-c≠0,从而a-b=0,得a=b,所以△ABC是等腰三角形. 类型对策:组合型. 移项后对等式左边作整体分解. 例12 已知 a,b,c是△ABC三条边的长,且满足a2+b2≤4a+10b-29,求第三边c的长(取值范围). 解答 ?原等式可化为a2+b2-4a-10b+29≤0,于是有(a-2)2+(b-5)2≤0,从而有(a-2)2+(b-5)2=0 ,所以a=2且b=5. 因为a,b,c是△ABC三条边的长,所以a-b 与质因数分解的综合运用 例13 a,b,c是正整数,且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c=2003,试求a+b+c的最小值. 解答 ?原等式可化为(a+1)(b+1)(c+1)=22×3×167. 经分析上式中各种情形可知,左边三个因式分别取4,3,167时,其和为最小. 不妨取a+1=4,b+1=3,c+1=167,即当a=3,b=2,c=166时,a+b+c=171为所求的最小值. 类型对策:局部分解.本题方法也可用于求a+b+c的最大值,留给读者思考. |
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