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高观点下小学数学思想方法的渗透

范文

卜娇李明兰

【摘要】数学思想方法是数学教学的精髓，是统领课堂教学的主线，对小学数学教学意义重大.高观点下看小学数学课程内容蕴含有形式化的数学思想、对象化与结构化的数学思想、化归的数学思想.这些数学思想方法的渗透有助于初步培养学生的数学抽象思维和算术、代数思维.结合教学实例进行分析，便于教师理解和落实.

【关键词】数学思想方法，小学数学教学，高观点，渗透

对数学基本思想的突出强调是新一轮数学课程改革的一个重要变化，如《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总体目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”[1]这一表述将数学基本思想作为义务教育阶段，尤其是小学数学教学的基本目标之一，更加强调数学基本思想的重要性.然而，就小学数学教学的现实而言，这一理念还不能说已经得到了很好的贯彻落实，而造成此现象的重要原因就是普遍认为：小学的数学内容过于简单，因而，不可能很好地蕴涵一些深刻的数学思想.

一、相关概念的界定

在对这一观点具体分析之前，需要首先清楚界定数学基本思想、数学思想方法、数学思想和数学方法的内涵.以下就是相关概念的界定.

数学基本思想是数学产生和发展所必须依赖的思想，也是学习过数学的人应当具有的基本思维特征.[2]数学思想方法是数学思想与数学方法的合称.所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学教学活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想.所谓数学方法是指在研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等，它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的.[3]总之，数学思想是相应数学内容的精神实质，是数学方法的灵魂，数学方法是实现有关思想的策略方法，是数学思想的具体化反映.同一个数学成就，当用其去解决数学问题时，称之为数学方法，当评价其在数学体系中的价值和意义时，又称之为数学思想.可见数学思想与数学方法的联系是明显的，因而，在实际使用时往往不加区别.在小学阶段，常将思想和方法这两重意思合在一起说，以下论述中统称为数学思想方法.

二、小学数学中的基本数学思想方法

陈省身先生说过，好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学.[4]小学数学虽然简单，但在数学知识体系的建构中扮演着重要角色，是中学数学的基础，是好的数学.教师要想教好它，就必须立足高观点下挖掘小学数学知识中蕴含的数学思想方法.小学数学内容中比较基本和重要的数学思想有“形式化的数学思想”“对象化与结构化的数学思想”和“化归的数学思想”等等.

（一）形式化的数学思想

“形式化的数学思想”就是将现实世界的有关数与形的事物抽象概括成数学概念、数学关系，用数学符号（或语言）表达出来，即数学模型或数学结构.[3]其中体现了一种重要的数学思维——数学抽象思维，即运用数学语言、符号反映数学对象的本质和规律的一种思维.

小学阶段学习正整数加减法，常常基于某个特殊的现实情境展开.比如，“已知有4个苹果，5个梨，求水果的总量”可列式为“4+5=9”.在这个过程中我们把现实原型抽象成相应的数学表达式，由特殊过渡到一般，实现了形式化.显然，借助现实原型有利于学生很好地理解数学，这表明数学知识向现实生活“复归”至关重要.需要说明的是，数学教学若一味提倡数学知识向现实生活“復归”易导致“去数学化”现象.实际上，与现实意义在一定程度上的分离对学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的.可从下段分析中得知.

（二）对象化与结构化的数学思想

“对象化与结构化的数学思想”主要体现在代数领域.该领域的学习，注重将各个数看成抽象的独立对象，而不始终聚焦于它们的现实意义.数学对象的性质主要表现在它们的相互关系，可将这些数学对象组成一种整体性的数学结构，这就涉及了“对象化与结构化的数学思想”.其中包括“用字母表示数的思想方法”与“变量和函数的思想方法”.

“对象化与结构化的数学思想”被看成代数思维十分重要的一项内涵[5]，代数思维是由具体的数扩展到了式（字母表达式），达到了更高的抽象层次.关于代数思维的研究有一项重要成果，即斯法德（A.Sfard）的代数思维的基本形式（对象——过程理论），指明“凝聚”是由“过程”向“对象”的转化构成了代数（包括算术）思维的基本形式.[6]例如，当计算两个加数相加（被减数与减数相减）就可得到相应的和（差），大量的加减法计算被看成一个过程，随着学习的深入，这些运算不再仅仅被看成一个过程，而被认为是一个特定的数学对象，可以具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等.从心理表征来看，就经历了一个“凝聚”的过程，即由一个包含多个步骤的操作过程凝聚成了单一的数学对象.

“用字母表示数”是代数思维的基本特征.它可以把数或数量关系简明而普遍地表现出来，也可以使一些复杂的运算变得简单，这是发展符号意识、进行量化刻画的基础，也是从常量研究过渡到变量研究的基础.[3]小学代数内容蕴涵“用字母表示数的思想方法”.如在学习平面图形的面积计算公式时，学生不仅要归纳出面积计算公式，还要会用字母表示，体会用字母表示计算公式的简便和优越.有了“用字母表示数的思想方法”就利于学生由“过程”向“对象”转化，再以“数学对象”为起点进一步学习，便于培养小学生的代数思维.

“变量和函数的思想方法”在小学一年级就有迹可循.如，“在2+8=□，7+□=16，□>43>□等算式中填上合适的数”，该题用“□”代替具体的数乃至变量.让学生在“2+8=□”中填上合适的数，这个答案“10”是唯一确定的，如果把左端的2变成3，右端的10就变成11，把左端的8变成7，右端的10就变成9.随着重复的计算，学生认识到右端的数被左端的数所唯一确定，而在数学里，数量之间的确定性关系叫作函数关系，这实际上就是由多个加法的计算过程“凝聚”形成了学生对函数关系的初步感知，即是由“过程”向“对象”转化，也可以培养小学生的代数思维.

（三）化归的数学思想

“化归的数学思想”是指把待解的问题通过某种转化过程，归结到一类已解决或者较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一般手段和方法.所谓“化归”就是实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，而将一个问题化为规范问题的过程叫作问题的规范化.[7]小学阶段进行规范化的具体操作方法有：数形结合的方法、化曲为直的方法，等等.

“数形结合的方法”在小学认识小数、分数、负数时常常用到.如在学习分数的初步认识时，借助直观图使学生对分数有感性的认识（如图所示）.这里运用了“数形结合的方法”将未知“分数”转化为已知“图形”来理解，体现了“化归的数学思想”.

“化曲为直的方法”在小学数学中典型的例子就是探究圆的面积计算公式.把一个圆平均分成16，32，64份，剪开后可以近似拼成一个平行四边形，若将这个圆无限细分，就可拼成一个近似的长方形，于是可以借助拼成的长方形来推导圆的面积计算公式.该过程是将不会计算面积的圆转化为会计算面积的长方形去探索圆的面积计算公式，即将未知问题转化为已知问题，将曲线问题转化为有关直线的问题来解决，蕴含着“化归的数学思想”.

除了上述具有专门术语的操作方法外，大量的是没有专门术语的操作方法.例如，小数乘法计算转化为整数乘法计算，不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算，等等.总之，数学问题解决的核心就是化归，没有化归就没有问题解决.[3]

三、渗透数学思想方法的教学策略

小学数学内容中蕴含有丰富的数学思想方法.在小学阶段有意识地向学生渗透一些数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学思维的重要手段.因此，教师必须有目的地将数学思想方法融入数学知识的教学中，帮助学生初步体会和领悟数学思想方法，培养学生的数学思维.下面具体论述小学数学教学中思想方法的教学策略.

（一）在知识的形成过程中渗透数学思想方法

数学知识的发生过程与数学思想方法的发生过程是紧密联系、相辅相成的.每一个概念、规律都经历着由具体到抽象、由特殊到一般的形成过程.因此，概念的形成、结论的得出、规律的概括等过程都蕴含着丰富的数学思想方法，是渗透数学思想方法极好的素材.为了能选取到渗透数学思想方法的合适素材，教师必须深刻钻研教材，重视设计适当的数学活动让学生经历知识的发生、发展过程，引导学生从探索出发，参与概念的形成和规律的揭示过程.由此学生在掌握数学概念、定理、法则的过程中，不仅学习了数学知识，还培养了良好的思维品质.这一过程自然加深学生对其中数学思想方法的理解与领悟.

例如，教学两位数加一位数的笔算进位加法时，由于这是小学一开始学习列竖式笔算加法，因此，必须为“竖式”的建立做好認知铺垫.教师可以让学生逐步经历“摆小棒计算”——“拨计数器计算”——“列竖式计算”这一系列操作性数学活动，使学生不但掌握计算方法，而且获得对算理的理解，以此为基础再进行算法的提炼和概括.实现由“过程”向“对象”的转化，方便后续进一步学习算术运算.教师在列竖式笔算加法的教学中通过逐步抽象建立“竖式”的过程，不但加深了学生对竖式的理解，而且渗透了“形式化的数学思想”，有效地培养了学生的数学抽象思维.

（二）在问题解决的过程中提炼数学思想方法

数学问题解决的过程，实质是数学命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程.[3]数学思想方法存在于数学问题解决的过程中，并指导数学问题的解决.因此，在解决数学问题的过程中，数学思想方法起着统摄、定向的作用.一方面，教师要让学生在已有知识经验的基础上对问题情境中的信息进行重新加工，再将已有知识经验与未知相联系，并在数学思想方法的引导下寻找问题解决的起点和方向，从而找到解决问题的具体思路和方法.另一方面，在解决问题后，教师要引导学生对解题过程中用到的方法策略进行反思、归纳和概括，以加深对数学知识的理解.经历由解题的基本方法策略向数学思想方法的转化，使得学生把数学思想方法内化为自己的观点，并能够借助它来解决问题.

例如，“多边形内角和”这个内容是在初中重点学习的，小学阶段对该问题的研究主要是作为“三角形内角和”的拓广和延伸，不做过高要求.小学教学“三角形内角和”内容普遍采用的是让学生经历“猜想——测量——验证”这一系列活动归纳、概括出数学结论.接下来教师可以提示学生运用课上积累的相关活动经验探究“四边形内角和”.需要注意的是，在进行验证的时候教师可以稍做引导，防止学生一味用“剪拼”的方法进行验证，难以想到将四边形转化为三角形进行计算.解决“四边形内角和”这一问题之后，教师必须带领学生对其中所用的数学思想方法进行反思、归纳和概括，即提炼“化归的数学思想”，帮助学生将其内化，在以后的解题中加以应用.

（三）在知识的总结归、纳过程中概括数学思想方法

数学思想方法在数学知识体系中居于核心地位，它们以内隐的方式融于知识体系中.一方面，同一知识内容可能蕴涵着不同的数学思想方法，另一方面，同一数学思想方法也可能分布在不同的数学知识内容中，这反映了知识间具有内在的逻辑联系.因此，教师需要引导学生对数学知识进行适时的总结和归纳.可将其专门作为教学设计的一个环节，安排在课后小结、单元小结或复习时.教师要有计划、有步骤地和学生一起归纳、概括数学思想方法，注重从两方面整理数学思想方法及其系统，使学生感受到数学思想方法的普遍实用性，进一步培养学生的数学思维.

例如，在学习完平面图形面积计算之后，可专门安排一次复习课，包含如下数学活动：首先让学生回忆都学过哪些平面图形的面积计算公式，其次让学生交流这些面积计算公式是怎样推导的，重点说说长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形以及圆，最后提问学生怎么求组合图形的面积.通过交流，学生不仅可以加深对这些面积计算公式的理解和掌握，建立起平面图形面积计算公式的联系，形成良好的图式，还可以认识到探索这些面积计算公式时所用到的同一种数学思想——化归，即将新学的平面图形转化为已知面积公式的平面图形，再去推导面积计算公式，使学生感受“化归的数学思想”的优越性，体会数学思想方法的普遍实用性.

综上可以看出，小学的数学内容蕴含着丰富且深刻的数学思想方法.作为教师，我们应在高观点指导下挖掘小学数学中所蕴含的数学思想方法，结合数学内容恰当设计相关数学活动，以使学生更好地领悟数学思想方法，培养他们的数学思维.对这里所说的“数学活动”我们应作更为广义地理解：这不仅包括概括、抽象、符号化、操作、算法的应用等，而且还包括下定义、综合、视觉化、表征、证明和公理化等[5]，而教学的关键就是帮助学生理解这些数学活动的意义，进而更好地领悟数学思想方法.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[3]吴华.数学课程与教学论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]张景中.感受小学数学思想的力量[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[5]郑毓信.高观点指导下的小学数学教学[J].小学数学教育，2014（12）：3-6.

[6]郑毓信.数学思维与小学数学教学[J].课程·教材·教法，2004（4）：28-32.

[7]朱成杰.数学思想方法教学研究的几项新成果[J].数学通报，1996（11）：1-3.

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