| 标题 | 数学分析若干定理的推广 |
| 范文 | 赵明 李东玮 摘要：利用有限覆盖定理得到一个形式相似但对原定里中闭集的有界性不再要求的推论.以及闭区间的逆定理、聚点定理的逆定理。 关键词：有限覆盖；有界闭集；闭区间套定理；聚点定理 中图分类号：O151.21 有限覆盖定理是数学分析中基础性定理，本文给出有限覆盖定理的推论.在推论中不再要求被覆盖的闭集有界.以及闭区间套定理、聚点定理的逆定理。并通过对文献[1]Caratheodory定理的证明过程分析，适当推广了Caratheodory定理的适用范围。另外通过推广Toeplitz数表得到了另外一种形式的Stolz定理。 实数理论是数学分析的基础，海涅波莱尔有限覆盖定理、维尔斯特拉斯聚点定理、闭区间套定理分别刻画了实数集的连续性。文献[1]给出了海涅波莱尔有限覆盖定理的逆定理，受此启发本文探索了闭区间套定理、维尔斯特拉斯聚点定理的逆定理。并给出了有限覆盖定理的另外一种形式，该种情形不再要求被覆盖的集合是有界的仅要求是闭的。 1预备知识 以下命题来自文献[2]. 2结论 下面给出有界闭集套定理的逆定理： 定理2.2F为中非空子集，若对任一子集族：都有，则F闭，有界。 证：先证F闭。 设是F的极限点，则存在F中的互异点列 取 …… 从而 ，显然x0∈∩ SymboleB@ k=0Fk 再证有界性。 反证.若F无界。不妨设F无上界，对都有，使得 取F中点列如下： ，，... 显然，且，取，则这与已知条件矛盾，故F有界。 将此定理适当修改可推广至n维空间。 聚点定理的逆定理： 定理2.3若中非空子集F的任一无限子集至少有一个极限点则F有界. 证：反证。 若F无界， 则对使得取， 然而F中的无限子集无极限点。这是因为。 为凑齐刻画实数集连续性的几大定理的逆定理特附上以下定理，该定理及其证明来自文献[1]。 定理2.4设FRn，若F的任一覆盖都包含有限子覆盖则F是有界闭集。 证明：设y∈Fc，则对于任一x∈F，存在δx>0使得邻域： U（x，δx）∩U（y，δx）=。 显然，{U（x，δx）：x∈F}是F的一个开覆盖。由题目已知条件知存在有限子覆盖，不妨设为： U（x1，δx1），U（x2，δx2），…，U（xn，δxn） 令δ=max{δx1，δx2，…，δxn}，取M=[δ]+1，则对于任一x∈F有x SymbolcB@ nM。有界性证毕。 再令δ0=min{δx1，δx2，…，δxn}，则F∩U（y，δ0）=，即yF'，因此F是闭集。 以下将Caratheodory定理中对集合G的要求從开集减弱为一般集合，相应地对集合E适当增加条件。 Caratheodory定理[1]： GRn，G≠Rn，G为开集，EG.令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...） 则limkm*（Ek）=m*（E） 改进为： 定理2.5：GRn，G≠Rn，EG，m*（E）=0，m*（Gc∩E）=0 令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...）， 则limkm*（Ek）=m*（E） 证明：显然limkm*（Ek） SymbolcB@ m*（E），为证 反向不等式假设limkm*（Ek）< SymboleB@ 令Ak=Ek+1/Ek，（k=1.2...），易知d（A2j，A2j+2）>0，（j=1.2...）再注意∪k1j=1AjE2k得： m*（E2k）m*（∪k1j=1Aj）=∑k1j=1m*（A2j） 从而∑ SymboleB@ j=1m*（A2j）< SymboleB@ ，同样可得∑ SymboleB@ j=1m*（A2j+1）< SymboleB@ 。令F{x∈E：d（x，Gc）=0}，V{E的孤立点}。对任意k有： E=E2k∪（∪ SymboleB@ j=kA2j）∪（∪ SymboleB@ j=kA2j+1）∪（E）∪F∪V 其中m*（F）+m*（V）+m*（E）=0，从而： m*（E） SymbolcB@ m*（E2k）+∑ SymboleB@ j=km*（A2j）+∑ SymboleB@ j=km*（A2j+1） 令k→ SymboleB@ 得： ∑ SymboleB@ j=km*（A2j）=0，∑ SymboleB@ j=km*（A2j+1）=0 m*（E） SymbolcB@ limkm*（Ek） 证毕 在文献[3]中第二章的Toeplitz数表也有进一步推广的空间。介绍如下： 定义：由无穷正数构成的三角形数表 t11 t21t22 t31t32t33 tn1tn2…tnn 表（1） 满足条件：（1）∑nk=1tnk=1，n∈N（2）k∈N，limn→ SymboleB@ tnk=0 条件1在[3]中Stolz定理的引理证明中并未起关键作用，将其推广为表（1）中任意有限个元素之和有一致的界。 定理2.6设tnk是一个如上推广的Toeplitz数表，an是无穷小数列，设bn=∑nk=1tnkak，n=1，2，...，则limn→ SymboleB@ bn=0 证明：设M为Toeplitz数表中条件（1）的上界。对于ε>0，N1∈N，使得当k>N1， 有ak<ε2M，对这个N1存在N2∈N，使得当n>N2时有tn1a1+…+tN2an<ε2，标记： N3=max{N1，N2}，于是当n>N3时： bn SymbolcB@ tn1a1+…+tnnan<ε2+ε2MM=ε 证毕 下面以推广后的Toeplitz数表做出类Stolz定理： 定理2.7数列Cn满足：Cn>0，M∈R，M>0，Cn limnynyn1cn=a则limn（xnyn）=a 证：做推广的Toeplitz数表 tnk=ckxn，k=1.2.... un=ynyn1cn， vn=∑ SymboleB@ k=1tnkuk=∑ SymboleB@ k=1ckxnykyk1ck=xnyn 因此limnynyn1cn=limn（xnyn）=a 参考文献： [1]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008. [2]周民强.实变函数解题指南[M].北京：北京大学出版社，2010. [3]张筑生.数学分析新讲第一册[M].北京：北京大学出版社，1990. 作者简介：赵明，男，河南警察学院基础部，研究方向为泛函分析；李东玮，男，河南警察学院基础部，博士，研究方向为高能物理。 |
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