初中数学结构性思维教学例析
蒲大勇
【摘要】结构性思维是从数学整体结构中去理解数学知识，领会数学方法，渗透数学思想的一种教学范式.结构性思维教学要经历“解构——比构——重构——结构”的过程.通过对教学案例的分析启示我们：系统解构，让学生“想得到”；纵横比构，让学生“懂逻辑”；经历重构，让学生“会思考”；整合结构，让学生“能思维”.
【关键词】结构性思维；教学范式；案例分析；教学启示
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的知识体系、严谨的逻辑结构.任何数学知识都不是孤立存在的，它们共存在一个完整而又严谨的体系之中.也就是说，数学知识是一个大结构，每一节内容、每一个知识点都是这个大结构中的一个元素.从逻辑学角度说，数学教学是一种结构性教学.数学又是一门思维的科学.数学教学活动是一项思维活动.数学教学的价值不仅仅是教技术、教方法和教技巧，而且还要教发现，教研究问题的思维方式、解决问题的基本策略及体会数学教育的智慧价值，学会数学的思维方式[1].从思维学角度说，数学教学本质上是一种结构性思维教学.那么，何谓结构性思维？所谓结构性思维是指从结构的视角分析事物的一种方法，强调从系统的结构去认识客观事物，并从中寻找最优结构，以获取最佳系统效能的思维方法[2].相对数学教学而言，结构性思维就是从数学整体结构中去理解数学知识，领会数学方法，渗透数学思想的一种教学范式.进一步说，结构性思维教学要经历“解构——比构——重构——结构”的过程.那么，在初中数学教学中如何实施结构性思维教学呢？为了便于说明，以人教版八年级数学“从分数到分式”的教学片段为例.1数学结构性思维教学环节分析
环节一：解构
在这里，解构就是把一个整体（或系统）进行分解、消解、拆解成若干元素（或子系统）的过程，也就是从整体到局部深入到数学知识内部，对其进行细致地分析的数学活动过程.解构是结构性思维教学的第一步，其目的是对已知整体（或系统）数学知识层层分解，为深度认识新知铺路.解构数学活动具有“三性”：一是整体性.所解构的元素（或子系统）是整体中的组成部分，整体中应包含这里的元素（或子系统）.二是层级性.解构是按照一定的逻辑关系，把整体分解为若干元素（或子系统），整体与元素（或子系统）之间在内部关系上呈现层级性.三是关联性.解构的数学知识与整体之间、元素与元素之间、子系统与子系统之间按照已有的邏辑关系呈现关联性，元素（或子系统）不能游离于整体之外.
问题1“数与代数”领域包括了“数”和“代数”两部分内容，从小学到现在，数系经历了一个怎样的扩张过程？
学生通过自主合作学习，形成了如图1所示的知识结构：
追问：“分数”主要包括哪些知识？（经过讨论，形成图2所示的知识结构）
评析上述教学片段通过学生自主合作学习，按照“整体——局部”的解构方式，把宏观知识“实数”进行解构，并对微观知识“分数”进行第二次解构.这种解构方式，不仅让学生层层深入对“实数”内部知识之间的逻辑关系有更清晰的了解，而且为后续学习“分式”起着“先行组织者”的作用.
环节二：比构
在这里，比构就是根据一定逻辑标准，在两种或两种以上有某种联系的数学知识间，由已知数学知识的内部结构推测另一种未知数学知识内部结构的过程.比构是结构性思维教学中的解构环节的继续，其重点在于“比”，落脚点在于“构”，这里的“比”主要是“类比”，通过具有相似性的两种或两种以上的数学知识的比较；“构”就是“构建”，也就是由已知推测出未知.比构数学活动有“三原则”：一是相关性原则.已知的数学知识和未知的数学知识之间有某种相关，两种纯粹不相关的数学知识不能用比构的方式.二是一致性原则.未知数学知识的分解或统整与已知数学知识的分解或统整在标准上是一致的.三是可能性原则.未知数学知识是通过比构推测而来，这只是一种可能，不能确保它的科学性和合理性，也就是通过比构而得的数学知识必须通过数学推理、论证等可靠的方式才能保证其科学性.
问题2大家知道了“实数”的知识结构，类比“实数”的知识结构把“代数式”的知识结构写出来.（师生合作形成了如图3所示的知识结构）
评析上述教学片段学生类比“实数”的知识结构，通过初步分析、比较等数学活动，推测了“代数式”的知识结构，不仅让学生初步感知了“代数式”内部知识之间的逻辑关系，而且为学生进一步学习奠定了基础.
环节三：重构
在这里，重构就是数学知识内部结构的一种调整.说得具体一点，重构在相当程度上就是数学知识元素的重新安排或者数学知识元素间关系的重组，最终形成新的联系.这种重构可能是局部的、广泛的，甚至是剧烈的.重构的数学活动具有“三重”特性：一是重塑.就是对原有观念的“重塑”，用著名教授郑毓信的话说——重构就是用一种新的观点去看待一件熟悉的事物，从而也就常常意味着观念的重要变化或更新，甚至是用完全不相容的观点去取代原先的认识.二是重组.就是对学生已有认知结构的“重组”.研究表明，学生的认知结构是一个逐步完善的过程，在这个过程中实现数学知识的重组，使其更加结构化.三是重建.就是重建概念的联系.数学概念是个庞大的系统，诸多概念之间有很多的联系，形成了错综复杂的概念网络.重构就是对原有的概念网络的不断修正、重建.
问题3如何类比分数的意义理解分式的意义呢？
片段一：分数的意义.
师：请说说分数23、37表达的意义.
生：23表示2除以3的商，37表示3除以7的商.
片段二：分式的意义.
师：式子：ta-x，t180（n-2），360t，st，na-x，…，它们有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
（学生思考讨论中）
生：这几个式子都含有分母，并且分母中含有字母.它们与分数的相同点为：在形式上相同，都有分母、分子和分数线；不同点为：这些式子分母中含有字母，分数的分母是一个具体的数.
（学生尝试表达后形成共识，教师归纳提炼）
师：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
评析上述两个教学片段，学生通过对已有知识“分数”的回顾，在对未知数学知识的重构过程中，既有对原有观念的“重塑”，也有对学生认知结构——分数的“重组”，更有对分式概念的“重建”，最终理解了分式的意义.
环节四：结构
在这里，结构是指数学知识系统内部各元素之间的相互联系，相互作用的方式和秩序.结构的目的是达到知识的结构化，说得直白点，就是把知识元素按其相互联系、相互作用的方式和秩序组合起来.知识的结构化是结构性思维教学的最终目标，在形成结构的过程中，要注意三点：一是夯实基础.准确无误的知识元素是知识结构的基础，知识元素在知识结构中有唯一确定的位置.因此，教学中要保证每一知识元素的正确性，只有这样才能明确每一知识元素在知识结构中的唯一确定的位置，从而保证知识结构的正确.二是把准逻辑.众多知识建立成结构，不是一种简单的组合，或者说不是某种关系的“格式”，而是按照某种规则的“逻辑安排”，所以，教学中务必把准形成结构的逻辑，从知识之间的内部关系加以考量.三是形成系统.众多知识形成结构本身就是一种系统，这个系统属于小系统；而结构与结构之间形成较大的系统，教学就是要帮助或指导学生不断地把新的数学知识结构纳入到知识系统中去，把小的数学知识系统组合成大的数学知识系统.
问题4尝试比较分数与分式、整式与分式，并建立“数与代数”的知识结构.
评析上述教学片段按照“微观——中观——宏观”的历程帮助学生形成知识结构，“分数”与“分式”在微观层面的比较、“整式”与“分式”在中观层面的比较，帮助学生建立进一步学习的“基本套路”，也就形成一个小结构；进而引导学生从“数”到“式”在宏观层面建立了基本框架，形成了“数与代数”的知识结构.2数学结构性思维教学启示
结构性思维教学是以数学知识整体结构为教学视角，按照“解构——比構——重构——结构”的历程进行教学，其目的是通过数学学习，让学生会数学地思维，在这个过程中提升学生的数学思维能力，以此达到促进学生数学素养得以发展的目标.
2.1系统解构，让学生“想得到”
对于一个具体的数学问题或数学知识，学生常常被“这些问题是怎么提出来的？”“这个数学知识从何而来？”“你是怎么想到如此数学方法的？”……这些看似无关紧要的问题长期困扰.这些问题实则是数学思维的“本源性”问题.数学教学就要从这些“本源性”问题入手，追根溯源，通过适当的问题情境，为学生提供发现数学问题的“源头”，使学生知道这个或这些“源于”何处.上述教学片段，从学生已学过并熟悉的“实数”和“分数”入手，解构分析了“数的知识结构”，这个过程“孕育”了“实数”的分类标准和原则，渗透了“分数”学习的基本套路，更为重要的是为学生拓展学习“代数式”以及“分式”提供了基本范式，学生在接下来的学习中就很容易“想得到”.
2.2纵横比构，让学生“懂逻辑”
教师常给学生说：“学习要达‘触类旁通之成效.”此话给学生留下了太多思考空间——“触的类在哪？旁通，通什么？”“通过怎样的途径才能触类旁通？”事实上，数学是逻辑性、系统性很强的学科，不同知识之间形成了节节相连的“链条”，知识内部环环相扣，旧知里孕育新知，新知又不断转化为旧知，正是这样，数学知识形成了一个纵横交错、立体的知识网络.因此，数学教学中要善于找新旧知识的“连接点”，要从与新知相关的基础知识设计教学，重点分析新知与旧知之间的联系，并把教学起点放在学生的最近发展区，让他们更好地同化或顺应新知；要善于比较、分析旧知的“发生点”，在旧知中孕伏“新知”，重点分析新旧知识的纵横联系，把教学终点放在与后继知识的发生点上，更好地孕伏渗透后续知识.上述教学不仅从“数到式”，而且从“分数到分式”，在“数”中孕伏“式”的教学，让学生在“数”中懂逻辑，并从“数”的逻辑演绎到“式”的逻辑.
2.3经历重构，让学生“会思考”
“新知从旧知内部产生要经过哪些过程？”“需要运用哪些数学方法？”“解决这个问题需要从哪里找突破口？”“解决某个数学问题具体该怎样思维？”等一系列“过程性”问题是学生思考的困惑点.数学教学就要发挥数学的内在力量，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考[3].上述教学注重以旧知“实数”和“分数”的发生发展过程为载体，为学生构建了一个“类比、归纳、猜想、推理、反思”等数学思维活动过程，再到新知“分式”的概念教学时，学生经历“重构”的过程中也就“会思考”.
2.4整合结构，让学生“能思维”
“对于具体数学问题我该从何处想？”“解决这个问题的基本套路是什么？”等一系列“思想性”问题是学生迫切需要收获的.数学教学不能仅仅满足于学生对数学知识的掌握，对数学方法的运用，更重要的是对数学思想的升华，提升学生的思维品质，让学生“能思维”.数学教学重在激活学生的数学思维活动，重在启发学生数学思维的深层参与，从而引导学生学会思考，学生的数学思维得以发生和发展.上述教学让学生经历了“分式”和“数和代数知识结构”的类比、探索、建构的过程，体会归纳、类比的数学思想，进一步领会“数与代数”的学习基本套路；让学生参与“实数”和“分数”知识的回顾与思考的活动，引导学生学会归纳、概括，从而逐步提高学生的思考力，培养用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯.
参考文献
[1]高峰.参与过程设计，优化学习策略——以《平行四边形的判定（1）》教学为例[J].中学数学（下），2015（1）：4-6.
[2]潘德顺.结构性思维，带给科学教学的思考[J].辽宁教育，2010（1-2）：69-71.
[3]章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例[J].中学数学教学参考（中旬），2015（4）：10-12.
【摘要】结构性思维是从数学整体结构中去理解数学知识，领会数学方法，渗透数学思想的一种教学范式.结构性思维教学要经历“解构——比构——重构——结构”的过程.通过对教学案例的分析启示我们：系统解构，让学生“想得到”；纵横比构，让学生“懂逻辑”；经历重构，让学生“会思考”；整合结构，让学生“能思维”.
【关键词】结构性思维；教学范式；案例分析；教学启示
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的知识体系、严谨的逻辑结构.任何数学知识都不是孤立存在的，它们共存在一个完整而又严谨的体系之中.也就是说，数学知识是一个大结构，每一节内容、每一个知识点都是这个大结构中的一个元素.从逻辑学角度说，数学教学是一种结构性教学.数学又是一门思维的科学.数学教学活动是一项思维活动.数学教学的价值不仅仅是教技术、教方法和教技巧，而且还要教发现，教研究问题的思维方式、解决问题的基本策略及体会数学教育的智慧价值，学会数学的思维方式[1].从思维学角度说，数学教学本质上是一种结构性思维教学.那么，何谓结构性思维？所谓结构性思维是指从结构的视角分析事物的一种方法，强调从系统的结构去认识客观事物，并从中寻找最优结构，以获取最佳系统效能的思维方法[2].相对数学教学而言，结构性思维就是从数学整体结构中去理解数学知识，领会数学方法，渗透数学思想的一种教学范式.进一步说，结构性思维教学要经历“解构——比构——重构——结构”的过程.那么，在初中数学教学中如何实施结构性思维教学呢？为了便于说明，以人教版八年级数学“从分数到分式”的教学片段为例.1数学结构性思维教学环节分析
环节一：解构
在这里，解构就是把一个整体（或系统）进行分解、消解、拆解成若干元素（或子系统）的过程，也就是从整体到局部深入到数学知识内部，对其进行细致地分析的数学活动过程.解构是结构性思维教学的第一步，其目的是对已知整体（或系统）数学知识层层分解，为深度认识新知铺路.解构数学活动具有“三性”：一是整体性.所解构的元素（或子系统）是整体中的组成部分，整体中应包含这里的元素（或子系统）.二是层级性.解构是按照一定的逻辑关系，把整体分解为若干元素（或子系统），整体与元素（或子系统）之间在内部关系上呈现层级性.三是关联性.解构的数学知识与整体之间、元素与元素之间、子系统与子系统之间按照已有的邏辑关系呈现关联性，元素（或子系统）不能游离于整体之外.
问题1“数与代数”领域包括了“数”和“代数”两部分内容，从小学到现在，数系经历了一个怎样的扩张过程？
学生通过自主合作学习，形成了如图1所示的知识结构：
追问：“分数”主要包括哪些知识？（经过讨论，形成图2所示的知识结构）
评析上述教学片段通过学生自主合作学习，按照“整体——局部”的解构方式，把宏观知识“实数”进行解构，并对微观知识“分数”进行第二次解构.这种解构方式，不仅让学生层层深入对“实数”内部知识之间的逻辑关系有更清晰的了解，而且为后续学习“分式”起着“先行组织者”的作用.
环节二：比构
在这里，比构就是根据一定逻辑标准，在两种或两种以上有某种联系的数学知识间，由已知数学知识的内部结构推测另一种未知数学知识内部结构的过程.比构是结构性思维教学中的解构环节的继续，其重点在于“比”，落脚点在于“构”，这里的“比”主要是“类比”，通过具有相似性的两种或两种以上的数学知识的比较；“构”就是“构建”，也就是由已知推测出未知.比构数学活动有“三原则”：一是相关性原则.已知的数学知识和未知的数学知识之间有某种相关，两种纯粹不相关的数学知识不能用比构的方式.二是一致性原则.未知数学知识的分解或统整与已知数学知识的分解或统整在标准上是一致的.三是可能性原则.未知数学知识是通过比构推测而来，这只是一种可能，不能确保它的科学性和合理性，也就是通过比构而得的数学知识必须通过数学推理、论证等可靠的方式才能保证其科学性.
问题2大家知道了“实数”的知识结构，类比“实数”的知识结构把“代数式”的知识结构写出来.（师生合作形成了如图3所示的知识结构）
评析上述教学片段学生类比“实数”的知识结构，通过初步分析、比较等数学活动，推测了“代数式”的知识结构，不仅让学生初步感知了“代数式”内部知识之间的逻辑关系，而且为学生进一步学习奠定了基础.
环节三：重构
在这里，重构就是数学知识内部结构的一种调整.说得具体一点，重构在相当程度上就是数学知识元素的重新安排或者数学知识元素间关系的重组，最终形成新的联系.这种重构可能是局部的、广泛的，甚至是剧烈的.重构的数学活动具有“三重”特性：一是重塑.就是对原有观念的“重塑”，用著名教授郑毓信的话说——重构就是用一种新的观点去看待一件熟悉的事物，从而也就常常意味着观念的重要变化或更新，甚至是用完全不相容的观点去取代原先的认识.二是重组.就是对学生已有认知结构的“重组”.研究表明，学生的认知结构是一个逐步完善的过程，在这个过程中实现数学知识的重组，使其更加结构化.三是重建.就是重建概念的联系.数学概念是个庞大的系统，诸多概念之间有很多的联系，形成了错综复杂的概念网络.重构就是对原有的概念网络的不断修正、重建.
问题3如何类比分数的意义理解分式的意义呢？
片段一：分数的意义.
师：请说说分数23、37表达的意义.
生：23表示2除以3的商，37表示3除以7的商.
片段二：分式的意义.
师：式子：ta-x，t180（n-2），360t，st，na-x，…，它们有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
（学生思考讨论中）
生：这几个式子都含有分母，并且分母中含有字母.它们与分数的相同点为：在形式上相同，都有分母、分子和分数线；不同点为：这些式子分母中含有字母，分数的分母是一个具体的数.
（学生尝试表达后形成共识，教师归纳提炼）
师：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
评析上述两个教学片段，学生通过对已有知识“分数”的回顾，在对未知数学知识的重构过程中，既有对原有观念的“重塑”，也有对学生认知结构——分数的“重组”，更有对分式概念的“重建”，最终理解了分式的意义.
环节四：结构
在这里，结构是指数学知识系统内部各元素之间的相互联系，相互作用的方式和秩序.结构的目的是达到知识的结构化，说得直白点，就是把知识元素按其相互联系、相互作用的方式和秩序组合起来.知识的结构化是结构性思维教学的最终目标，在形成结构的过程中，要注意三点：一是夯实基础.准确无误的知识元素是知识结构的基础，知识元素在知识结构中有唯一确定的位置.因此，教学中要保证每一知识元素的正确性，只有这样才能明确每一知识元素在知识结构中的唯一确定的位置，从而保证知识结构的正确.二是把准逻辑.众多知识建立成结构，不是一种简单的组合，或者说不是某种关系的“格式”，而是按照某种规则的“逻辑安排”，所以，教学中务必把准形成结构的逻辑，从知识之间的内部关系加以考量.三是形成系统.众多知识形成结构本身就是一种系统，这个系统属于小系统；而结构与结构之间形成较大的系统，教学就是要帮助或指导学生不断地把新的数学知识结构纳入到知识系统中去，把小的数学知识系统组合成大的数学知识系统.
问题4尝试比较分数与分式、整式与分式，并建立“数与代数”的知识结构.
评析上述教学片段按照“微观——中观——宏观”的历程帮助学生形成知识结构，“分数”与“分式”在微观层面的比较、“整式”与“分式”在中观层面的比较，帮助学生建立进一步学习的“基本套路”，也就形成一个小结构；进而引导学生从“数”到“式”在宏观层面建立了基本框架，形成了“数与代数”的知识结构.2数学结构性思维教学启示
结构性思维教学是以数学知识整体结构为教学视角，按照“解构——比構——重构——结构”的历程进行教学，其目的是通过数学学习，让学生会数学地思维，在这个过程中提升学生的数学思维能力，以此达到促进学生数学素养得以发展的目标.
2.1系统解构，让学生“想得到”
对于一个具体的数学问题或数学知识，学生常常被“这些问题是怎么提出来的？”“这个数学知识从何而来？”“你是怎么想到如此数学方法的？”……这些看似无关紧要的问题长期困扰.这些问题实则是数学思维的“本源性”问题.数学教学就要从这些“本源性”问题入手，追根溯源，通过适当的问题情境，为学生提供发现数学问题的“源头”，使学生知道这个或这些“源于”何处.上述教学片段，从学生已学过并熟悉的“实数”和“分数”入手，解构分析了“数的知识结构”，这个过程“孕育”了“实数”的分类标准和原则，渗透了“分数”学习的基本套路，更为重要的是为学生拓展学习“代数式”以及“分式”提供了基本范式，学生在接下来的学习中就很容易“想得到”.
2.2纵横比构，让学生“懂逻辑”
教师常给学生说：“学习要达‘触类旁通之成效.”此话给学生留下了太多思考空间——“触的类在哪？旁通，通什么？”“通过怎样的途径才能触类旁通？”事实上，数学是逻辑性、系统性很强的学科，不同知识之间形成了节节相连的“链条”，知识内部环环相扣，旧知里孕育新知，新知又不断转化为旧知，正是这样，数学知识形成了一个纵横交错、立体的知识网络.因此，数学教学中要善于找新旧知识的“连接点”，要从与新知相关的基础知识设计教学，重点分析新知与旧知之间的联系，并把教学起点放在学生的最近发展区，让他们更好地同化或顺应新知；要善于比较、分析旧知的“发生点”，在旧知中孕伏“新知”，重点分析新旧知识的纵横联系，把教学终点放在与后继知识的发生点上，更好地孕伏渗透后续知识.上述教学不仅从“数到式”，而且从“分数到分式”，在“数”中孕伏“式”的教学，让学生在“数”中懂逻辑，并从“数”的逻辑演绎到“式”的逻辑.
2.3经历重构，让学生“会思考”
“新知从旧知内部产生要经过哪些过程？”“需要运用哪些数学方法？”“解决这个问题需要从哪里找突破口？”“解决某个数学问题具体该怎样思维？”等一系列“过程性”问题是学生思考的困惑点.数学教学就要发挥数学的内在力量，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考[3].上述教学注重以旧知“实数”和“分数”的发生发展过程为载体，为学生构建了一个“类比、归纳、猜想、推理、反思”等数学思维活动过程，再到新知“分式”的概念教学时，学生经历“重构”的过程中也就“会思考”.
2.4整合结构，让学生“能思维”
“对于具体数学问题我该从何处想？”“解决这个问题的基本套路是什么？”等一系列“思想性”问题是学生迫切需要收获的.数学教学不能仅仅满足于学生对数学知识的掌握，对数学方法的运用，更重要的是对数学思想的升华，提升学生的思维品质，让学生“能思维”.数学教学重在激活学生的数学思维活动，重在启发学生数学思维的深层参与，从而引导学生学会思考，学生的数学思维得以发生和发展.上述教学让学生经历了“分式”和“数和代数知识结构”的类比、探索、建构的过程，体会归纳、类比的数学思想，进一步领会“数与代数”的学习基本套路；让学生参与“实数”和“分数”知识的回顾与思考的活动，引导学生学会归纳、概括，从而逐步提高学生的思考力，培养用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯.
参考文献
[1]高峰.参与过程设计，优化学习策略——以《平行四边形的判定（1）》教学为例[J].中学数学（下），2015（1）：4-6.
[2]潘德顺.结构性思维，带给科学教学的思考[J].辽宁教育，2010（1-2）：69-71.
[3]章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例[J].中学数学教学参考（中旬），2015（4）：10-12.
