| 标题 | 巧用表格解决小学变化类应用题 |
| 范文 | 杨若晨 【摘要】变化类应用题，是指题干中所描述的情境有时间状态上的变化.小学生在解决复杂的变化类应用题时，由于认知能力的局限性，需要通过表格理清思路.本文将小学变化类应用题分为“调动型”和“年龄型”，基于数形结合的数学思想，举例说明了表格在解决这类问题时的巧妙应用，并在文末提出了对使用表格解决数学问题的见解和期望. 【关键词】表格;变化;应用题;数形结合 根据皮亚杰的认知发展阶段论，小学生（6、7岁—11、12岁）处于具体运算阶段[1].皮亚杰认为，该时期的心理操作着眼于抽象概念，属于运算性（逻辑性）的，但思维活动需要具体内容的支持[2].这个“具体内容”，体现在小学数学解题中，表格就是其一.小学生从四年级或五年级开始学习简易方程，接触到列方程解应用题.随着年龄增长，学生遇到的应用题也越来越复杂，列方程解应用题成为困扰许多小学高年级学生的难点.另一方面，出题者为了更全面地考查学生的数学思维能力，绞尽脑汁让应用题的问题情境更加丰富，其中一个增加题目难度的思路就是让题干中所描述的情境有时间状态上的变化.许多小学生在面对变化类应用题时易被复杂的变化迷惑，无从下手.巧用表格可帮助学生理清思路，更好地解决此类问题. 一、调动型（显性变化） 例1 甲、乙两袋大米共重24千克，如果从甲袋中取出3千克大米放入乙袋，这时两袋大米质量相等，原来甲袋中有大米多少千克？ 题干中有两个元素，即甲、乙两袋大米.由“从甲袋中取出3千克大米放入乙袋”可知，这是一道典型的变化类应用题，于是可对题干中描述的情境进行时间上的划分，分为变化之前和变化之后两个部分.由此，可得到如下的表格. 时间元素甲乙 之前（甲，之前）（乙，之前） 之后（甲，之后）（乙，之后） 接下来的任务就是将（甲，之前）、（乙，之前）、（甲，之后）、（乙，之后）这四个位置用含x的整式代替. 设甲袋原有大米x千克，即（甲，之前）=x;根据“甲、乙两袋大米共重24.6千克”这一条件，可得（乙，之前）=24-x;然后再由变化过程得出（甲，之后）=x-3，（乙，之后）=24-x+3.如下表所示： 时间元素甲乙 之前x24-x 之后x-324-x+3 一旦把題干中描述的情境用表格理清，问题基本就解决了.由变化之后两袋大米质量相等可知（甲，之后）=（乙，之后），于是列出方程 x-3=24-x+3 2x=30 x=15 答：原来甲袋中有大米15千克. 例2 原来甲班和乙班共有54个同学.这学期开学后，甲班转来了3个新同学，现在甲班人数恰好是乙班人数的2倍.问甲班现在有多少个同学. 由“甲班转来了3个新同学”这个条件可知，这也是一道典型的变化类应用题，我们依然可以类比例1，利用表格帮我们理清思路.设甲班原有x个同学，根据题目中的条件得到如下的表格. 时间元素甲乙 之前x54-x 之后x+354-x 由“现在甲班人数恰好是乙班人数的2倍”这一条件，可列出方程： x+3=2（54-x） 3x=105 x=35 35+3=38（个） 答：甲班现在有38个同学. 比较例1和例2，两道题虽然都是变化类应用题，也都是通过“调动”完成的变化，但调动方式却不同.例1是从甲取出，放入乙，那么甲中减少的数量等于乙中增多的数量，甲乙总和是不改变的，我们可以把这种调动方式称为“内部调动”.例2是从外部给甲施以变化，乙没有变化，于是甲变化的数量就等于甲乙总和变化的数量，我们称之为“外部调动”.“调动”是变化类应用题的常见形式，此类题目往往对变化有较为明显的描述，是显性变化.“内部调动”和“外部调动”是两种常见的调动方式.现以“甲、乙”代表题干中的元素，将这两种调动方式的特点进行总结，如下表所示： 类目变化种类 内部调动外部调动 甲变 乙变 一个变，另一个不变 甲乙总和不变变 二、年龄型（隐性变化） 例3 三年前爸爸的年龄正好是儿子年龄的6倍，今年父子的年龄和是55岁，今年儿子多少岁？ 题干中不存在明显的有关变化的字眼，但题干中描述的情境存在时间上的先后，即三年前和今年，这是两种不同的时间状态，因此，这也是变化类应用题.这种题目通过年龄的增长体现变化，是隐性变化，一般不易被学生发现.其实，若能发现“过几年，人就增长几岁”这个隐含条件，同样利用表格理清思路，这种题目也就迎刃而解了.题干中有两个元素：爸爸和儿子，存在两个时间状态：三年前和今年.设儿子三年前x岁.由题目条件，可得到如下的表格. 时间元素爸爸儿子 三年前6xx 今年6x+3x+3 由“今年父子的年龄和是55岁”可列方程. 6x+3+x+3=55 7x=49 x=7 7+3=10（岁） 答：今年儿子10岁. 例4 小晨出生的时候，爷爷60岁.两年前，爷爷去世了.如果爷爷还在世，今年爷爷的年龄恰好是小晨年龄的4倍.问：爷爷享年多少岁？ 这道题目看起来更为复杂，我们一点一点地分析.首先，题干中有两个元素：小晨、爷爷.其次，题干中有3个时间状态：小晨出生的时候、两年前爷爷去世的时候、今年.由此，我们以时间状态为列，以元素为行，建立表格.由“小晨出生的时候，爷爷60岁”可知，爷爷比小晨大60岁，这个年龄差是不会改变的享年是死者活的寿数，因此，题目问的实际上就是爷爷去世时的岁数.我们不妨设爷爷去世的时候（即两年前）是x岁，则两年前小晨是（x-60）岁.从两年前到今年，岁数增长2岁，因此，今年小晨和爷爷的年龄也可表示出，从而得到下表. 时间元素小晨爷爷 小晨出生060 两年前x-60x 今年x-60+2x+2 由“如果爷爷还在世，今年爷爷的年龄恰好是小晨年龄的4倍.”这一条件，可列出方程. x+2=4（x-60+2） x+2=4x-232 3x=234 x=78 答：爷爷享年78岁. 三、练习巩固 （2016·杭州）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（）. A.518=2（106+x） B.518-x=2×106 C.518-x=2（106+x） D.518+x=2（106-x） 通过题干可知，这是一道变化类应用题，且是内部调动型.解题的关键在于把握住内部调动的特征：甲中减少的数量等于乙中增多的数量.通过列出如下所示的表格可以很好地理清思路. 时间元素甲乙 之前518106 之后518-x106+x 【答案】C 四、总结提高 小學阶段，解决较为复杂的应用题有两个很重要的辅助工具——线段图和表格.对行程类问题，线段图能够对整个过程有一个直观地呈现，方便我们进行分析;而对变化类问题，表格能够帮助我们拨开云雾，理清思路，大大降低出错率.线段图和表格好比我们解决应用题的左膀右臂，利用图表解决应用题，实则体现了“数形结合”的重要数学思想. 大多数学生对线段图都较为熟悉，使用频率较高，教师对线段图的研究也较多.但无论是教师还是学生，大多都没有对表格的使用引起足够的重视.其实，表格最大的作用就是清晰明了，我们应当重视表格在解决复杂问题时的应用.关于表格的应用，笔者在这里仅以解决变化类应用题为例进行说明，读者还可在此基础上继续研究表格在解决其他数学问题时的应用. 【参考文献】 [1]李丹.儿童发展心理学[M].上海：华东师范大学出版社，1987. [2]喻平.数学教学心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004. |
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