《数学归纳法的本源及理论依据》-教育论文，中小学教育教学-论文范文参考-科学狗论文网

标题

数学归纳法的本源及理论依据

范文

胡亮

在高中代数教科书里，讲过数学归纳法，也有不少的数学参考书里讲到数学归纳法.数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在数学各个分支里都有广泛应用，它的实质在于：将一个无法（或很难）穷尽验证的命题转化为证两个普通命题：P（1）真和假设P（k）真，推出P（n=k+1）真，从而达到目的.

抽象的说可能难以说清楚，可以举个例子来说.

上面的证明步骤是不是完整了呢？当然是完整了，但是我们为什么要这么做呢，这样做就一定对吗？这还要追溯到数学归纳法的本原及其理论依据。

以识数为例，小孩子识数，先学会数一个、两个、三个，过些时候能够数到十了，又过些时候，会数到二十、三十……一百了，但后来决不是这样一段一段地增长，而是飞跃前进，到了某一个时候，他领悟了，他会说：“我什么数都会数了.”这一飞跃，竟从有限跃到了无穷，怎么会的？首先，他知道从头数;其次，他知道一个一个按次序的数，而且不用担心数了一個以后，下一个不会数，也就是他领悟了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定，于是，他也就会数任何一个数了。

解释这个飞跃现象的原理就是数学归纳法，数学归纳法大大的帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。

当从一个袋子里摸出来的第一个是红双喜牌乒乓球，第二个也是，而且第三，第四，第五个都是红双喜牌乒乓球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红双喜牌乒乓球？”但是当我们有一次摸出一个冠军牌乒乓球的时候，这个猜想失败了.这时我们会出现另一个猜想：“是不是袋里的东西全部都是乒乓球。”但是，当有一次摸出来的是一个橡皮球的时候，这个猜想失败了.那时我们会出现第三个猜想：“是不是里面的东西都是球呢？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，这就要把袋里的东西全都摸出来才能见分晓。

袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完.由此可以得出一个肯定的结论，但是当东西是无穷的时候怎么办呢？

如果我们有这样的一个保证：“当你第一次摸出红双喜牌乒乓球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红双喜牌乒乓球，那么，在这样的条件之下，就不必费力去一个一个的摸了，只要第一个摸出来的确实是红双喜牌乒乓球，就可以不再检查，作出正确的结论：满袋里的东西全部都是红双喜牌乒乓球。

这就是数学归纳法的引子，我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证第一号命题是正确的，如果我们能够证第k号命题是正确的时候，第k+1号命题也是正确的.那么，这一批命题就会全部正确。

再看一看前面的例子 13+23+33+…n3=[12n（n+1）]2。

当n=1的时候，这个等式就成为： 13=[12·1·（1+1）]2 ，这是第一号命题，（这个命题可以通过验证，证实它是成立的）.当n=k的时候，这个等式成为：13+23+33+…k3=[12k（k+1）]2，这是k号命题，（这个命题是假设能够成立的）而下一步就是要在第k号命题成立的前提下，证明第k+1号命题 13+23+33+…k3+（k+1）3=[12（k+1）（k+2）]2 也成立.所以这个证法就是上面所说的这一原则的体现。

归纳法是一种逻辑推理方法，它的特点是从特殊到一般的推理，当推理要从有限过度到无限时，归纳法就不一定可靠.为论证严格，数学家提出了数学归纳法.这就是对于一个关于自然数的命题，只要验证n=1时命题成立，再假设n=k时命题成立，推证得到n=k+1时命题也成立，那么对一切自然数命题都成立.人们会问：为什么按照这两步推证，所得的结论是可靠的呢？其理论依据是什么？要回答这个问题，最后归结到对自然数本质的认识.直到19世纪末，由意大利数学家皮亚诺（Peano，1958—1932年）建立了自然数公理体系后，才认识到数学归纳法是以自然数序数理论为基础的。

1自然数公理体系

Peano （1858-1932）提出的自然数公理体系是：记N为全体自然数的集合，且

（1）“0”是自然数，即0∈N.

（2）对每一个自然数n有且仅有一个自然数作为n的后继数，记为n′，即n的后记数为n′.n=m，则n′=m′。

（3）如果n，m都是自然数，且它们的后继数相等，那么n=m （n′=m′则n=m）。

（4）“0”不是任何一个数的后继数。

（5）（归纳公理）自然数集合的任何一个子集M，如果它包含“0”，并且当它包含n时，也一定包含n′，那么这个子集就是自然数集本身即M=N。

2 最小数原理

公理1 有限多个数（实数）中必有最小的数。

公理2 对于任意一个自然数m（1，小于m的自然数只可能是0，1，2，…，m-1 这些数。

现在证最小数原理

定理1（最小数原理）设M是任意一个自然数的集合.若M非空，M中必有最小的自然数。

证在M中任取一个自然数m。

若m是M中最小的数，则结论成立。

若m不是M中最小的数，则将M分为两部分：一部分是不小于m的数，另一部分是小于m的数.由公理2得，M中仅有有限个数小于m;再由公理1得，这有限个数中必有最小的数，记为k.显然，k就是M中最小的数.所以，结论成立。

总之，结论成立，证毕。

3 第一数学归纳法原理

定理2 （第一数学归纳法原理）要证P（n）对一切自然数n成立，只要证明

1° P（1）成立;

2° 在P（k）（k≥1）成立的假定之下，证P（k+1）成立。

证假定1°，2°两步已作，证P（n）对一切自然数n成立。

用反证法证。

假设P（n）对有的自然数n不成立，根据定理1（最小数原理），必有最小的自然数h，使P（h）不成立。

由1°知，P（1）成立。所以h≠1，从而h-1为自然数，记h-1=k。

由于h是使P（n）不成立的最小自然数，而k=h-1

这说明：“P（n）对有的自然数n不成立”的假定是错误的.从而必有：P（n）对一切自然数n均成立，证毕。

4 第二数学归纳法原理

定理3 （第二数学归纳法原理）要证P（n）对一切n成立，只要.证明

1° P（1）成立;

2° 在P（x）（1≤x≤k）成立的假定下，证P（k+1）成立。

证假定1°，2°两步已作，证P（n）对一切自然数n成立。

用反证法证。

假设P（n）对有的自然数n不成立，根据定理1（最小自然数），必有最小的自然数h，P（h）不成立。

由1°知，P（1）成立.所以h≠1，从而h-1为自然数，记h-1=k。

由于h是使P（n）不成立的最小自然数，而k=h-1

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。