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变式教学在初中数学复习课中的运用

范文

黄丽丹

数学教学在进行单元复习时需要把整个单元学过的零散的知识点进行梳理，以便巩固、应用与提升所学的知识内容，需要梳理的知识点一般都比较多，既要巩固又要提升，但在实际教学过程中由于时间的限制和学生学习能力的个体差异等原因，教师在开展数学复习时常常会占用学生思考的时间，越俎代庖，直接给出解题方向或归纳方法，这不利于学生提高学习数学的能力，针对这一问题可以尝试微课课前复习结合教师课堂指导相结合的混合式教学模式。本文以“反比例函数的复习”微课教学设计为例，尝试借助变式教学来解决单元复习课中教学问题，探索提升数学单元复习课的教学效果的有效方法。

一、一题多变，触类旁通

一题多变包括很多形式，可以是只改变题目的部分条件而结论不变的条件变式;也可以是题目的条件不变的情况下变更结论的结论变式;还可以把题目的条件和结论互换的逆向变式;或者题目不变而图形变化的图形变式，通过类比使一个题变为一类题，从而达到触类旁通的目的，可以培养学生思维品质及探索、创新能力。结合一题多变的特点和作用，我在处理反比例函数的单元复习课时在以下几个知识点和题型用到了一题多变，触类旁通。

（一）条件变式，加深认识

在复习待定系数法求反比例函数解析式时，先摆出例题：已知y是x的反比例函数，若点A（1，4）是函数图象上的一点，求y与x的函数关系式.然后针对“點A（1，4）”这个条件提问还可以变成哪些形式？可以根据点的坐标与函数变量的关联改成“当x=1时，y=4”，还可以结合数形结合思想，给出反比例函数图象，从图象中体现这个条件，如图1。这道题通过让学生来条件变式，使学生掌握用待定系数法求反比例函数解析式这类题的题型结构，加深对问题本质的认识，提高审题能力和解题能力。

（二）逆向变式，逆向思维

在复习待定系数法求反比例函数解析式的例题“已知y是x的反比例函数，若点A（1，4）是函数图象上的一点，求y与x的函数关系式，”时，我们用的其实是代入法，通过条件变式让学生发现只要是函数图象上的点，都可以代入函数解析式，且等式成立，那么反过来已知函数解析式也可以用代入法求出函数图象上的点的坐标，可变式为：已知反比例函数的y：12图象经过点（-3，m），则m=____.通过逆向变式，让学生感悟代入法在函数问题中的应用范围。

在复习反比例函数的图象与性质时，例题”反比例函数y=--5/x图像在第_____象限，在每个象限内，y随x的增大而____.”和它的变式“函数y=m+2/x的图像在二、四象限，则m的取值范围是____.”也是逆向变式，这两道题都是反比例函数的常见基础题，这里通过逆向变式向学生传递了学习函数知识时图形的重要性，我们经常借助图象来得函数的性质，由比例系数k的符号可得函数图象的位置，反过来由函数图象的位置可得比例系数k的符号，再次渗透了数形结合思想。

在复习反比例函数与一次函数综合时，例题“如图2，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于A（一2，4）和B（a，一2）两点，交x轴于点C.求两个函数的解析式。”和它的变式“如图2，一次函数y= -x+2的图象与反比例函数y=-8/x要的图象交于A和B两点，求A、B两点的坐标，”也是逆向变式，这里通过逆向变式并让学生归纳解法（如图3）来让学生产生新的知识架构方程与函数的关联。

（三）图形变式，提高能力

在复习比例系数k的几何意义时，结合常考题型以及知识点的灵活运用方向我采用了教师引导，学生归纳的图形变式，可以提高学生代数与几何的综合能力，渗透数形结合思想的同时学生还可以通过图形变式观察几个图形中的共同特点，并总结出灵活运用k的几何意义解决问题的图形特征，帮助学生发现本质，提高解决问题的能力。

如图4，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为12，则这个反比例函数的关系式是____。

（四）一题多解，发散思维

启发和引导学生运用学过的知识，对同一道题提出不同的解题构想和方法，可以有效的培养学生的发散性思维能力，有利于学生的个体发展和素质能力的提高，潜移默化中也能培养学生的创新意识和全面思考问题的能力。考虑到反比例函数这一章的知识点中比例系数k的几何意义与面积有关，同时在平面直角坐标系中，求与函数有关的面积问题主要有公式法和割补法，且与反比例函数有关的面积问题是中考压轴题的常考题型，这类问题综合性强，对学生来说难度较大，因此，我在复习与反比例函数有关的面积问题时用到了一题多解。例题：反比例函数y=6/x和y=3/x在第一象限的图象如图5所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为____.

分析：这题题解法一是割补法求面积，如图5 （1）根据点A和点B在两个反比例函数图象上这一图形特点，可以用到k的几何意义这一知识点，分别作两坐标轴的垂线可得两个矩形的面积为3和6，进而得到与两个矩形同底同高的△BCO和△AOD的面积，最后用割补法得解。解法二是公式法求面积，如图5 （2）根据AB//x轴这一图形特点，可以用公式法求△AOB的面积，以AB边为底。AB=xA-xB高则为点B到x的距离3/xB，由AB∥x轴可得A、B两点的纵坐标相等，化简可以得xA=2xB，代入三角形面积公式可消元得解。

例题：如图6，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数

y=一8/x的图象交于A（一2，4）和B（4，一2）两点，连接OA、OB，求△AOB的面积。

分析：这道题是反比例函数与一次函数综合的典型题，解法一是常用的解法割补法，如图6 （1）或图6 （2），以x轴为界或以v轴为界，把原三角形分割成上下或左右两个三角形，先分别求出两个小三角形的面积，最后相加得原三角形面积。解法二是等积法，如图6 （3），先以OC为界把△AOB分成△AOC和△BOC，过A作AE⊥y轴于点E，由同底等高得S△AOC=S△EOC，过B作BF⊥y轴于点F，由同底等高得S△BOC=S△FOC，因此S△AOB= S△EFC=1/2EF.CO=1/2CO（yA一yB）。三角形面积公式等同于水平宽与铅垂高的乘积的一半的面积公式，等积法在二次函数面积综合问题时也需要用到。

这两道例题都是已知函数解析式从而可以得到相关关键点的坐标再求三角形面积，接下来我又用了一题多变中的逆向变式，即已知三角形面积求关键点的坐标。

变式：如图7，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y=k/x（x>0）的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AD.

（1）求该反比例函数的解析式;

（2）若____ ，设点C的坐标为（a，0），求a的值。

结合例题与变式题，从中总结出在平面直角坐标系中求图形面积的通用方法，如图8。

三、一法多用，举一反三

一法多用常以条件变式和关联变式两种形式出现，我在复习反比例函数的图象与性质时用到条件变式，把原题中的已知条件从特殊情况到一般情况的变式。这几道题都可以利用函数图象或图象的增减性求解，从中可以渗透数形结合思想，但数形结合对于中下生而言难度偏大，不容易理解，因此特殊情况的特殊解法就显得尤为重要。

四、归纳小结融会贯通

通过教师变式或引导学生变式的变式教学不是单纯为了变式而变式，而是为了让学生从“变”的过程中发现“不变”的方法或规律，因此在每一次的变式教学后一定要有归纳小结部分，最好是给出一定的时间让学生自己从变式中归纳小结哪类问题适用于这种解法，或具有什么图形特征的问题可以如何思考解决等等，教师可以在最后做个比较规范性的总结，但前期一定不可以越俎代庖，这样才可以使变式教学得到升华，才可以帮助学生把所学的知识点融会贯通，授之以渔而不是授之以鱼。

最后，在教学改革的当下，对于如何因材施教，让学生真正地成为学习的主体，仍然需要我们不断地探索钻研，在更新观念的同时不能丢弃原有的好方法，变式教学是我国传统的优秀教学策略，应用好变式教学必然可以提高教学质量，我们在应用现代化信息技术的同时还应该继续完善好“变式”教学模式，为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

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