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直线参数方程在解析几何中的应用

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王晨曦

摘要参数是解析几何中常见的元素，参数方程在解决高中数学解析几何题时有着意想不到的效果，例如利用参数方程可以求解轨迹问题、定点定值问题、最值问题等等，这些问题的综合性及应用性都很强，因而参数方程的学习十分必要。

关键词相交弦长及中点问题最值问题共圆问题轨迹方程

定理：设直线过定点，且倾斜角为、，是上的动点，则直线的一个参数方程为

其中为直线的倾斜角，参数的几何意义是，即有向线段的数量，我们称之为是定点到定点的有向距离，其中，当在点上方时，，当在点下方时，。

那我们来看看直线参数方程中可以解答的几种问题。

1相交弦长及中点问题

例1：（2016年江苏）平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为參数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于、两点，求线段的长。

解法一：把直线、椭圆参数方程转化为直角坐标方程，联立方程，利用韦达定理求解。

解法二：因为直线参数为标准形式，且过点，设点、对应的参数为，可得椭圆方程为，将直线参数方程代入到椭圆方程，可得，得，，故

一般经过点，倾斜角为直线参数方程为（为参数），若、为直线上两点，对应参数为，线段中点为，所对应参数。

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