| 标题 | 在数学说理中培育学生推理能力 |
| 范文 | 朱荣武 摘? ? 要?数学说理作为一种运用数学语言进行逻辑表达的过程，既是推理思维物化外显的主要形式，又是发展儿童推理能力的应然路径。用准确的数学文字语言、直观的图形语言、形式化的符号语言，以及多种语言形式的互通互译来表征推理过程，是教学的务实之举。 关键词数学说理 数学语言 推理能力 数学素养 维科斯基在《思维与语言》中指出：“思维发展受制于语言。思维发展是由思维的语言工具和儿童的社会文化经历所决定的。”[1]林崇德在其《发展心理学》中指出：“言语在小学生的基本思维过程的发展中起着重要的作用，它使其思维的深刻性、广阔性、批判性、自我监控的水平获得迅速发展。”[2]可见，语言的工具性和言语的过程性共同影响着儿童的思维。数学说理就是以数学知识或生活常识为依据，用数学语言工具（文字语言、符号语言和图形语言）加工并合乎逻辑地表达思维、说明发现、解释结论的过程。这一过程兼具语言的工具性和言语的过程性，因而对儿童数学思维能力的发展影响深远。 推理是儿童数学学习的一种基本思维方式，推理能力是构成个体数学素养的基本要素。从儿童数学推理思维的内容和形式看，数学推理能力的培育本质上就是要提高其数学说理能力。然而数学说理由于教学的时间成本较大，在教学实践中并未得到应有的重视。本文从小学数学说理的角度谈谈自己的思考和具体做法。 一、应用文字语言准确表达推理过程 小学生的推理思维活动，大都是以内隐的方式，无声地进行的，属于一种内部数学语言加工，具有自悟性、跳跃性、模糊性等特点，清晰度、条理性、系统性不足。引导学生用文字语言表达推理过程，不仅能再现原有思维过程，还能实现思维的再加工，让原有思维获得新的发展，同时结构化的语言组织还能让学生真切体会推理思维的魅力。 2.用文字语言解释说理 清晰、条理、有理有据地表达思维过程是推理能力发展的外在体现，也是培养学生推理能力的基本要求。比如在学生初步得到分数基本性质的猜想内容后，可以引导学生根据除法中商不变的规律和分数与除法的关系来解释说明（不是严格证明）分数的基本性质，通过类比推理获得对分数基本性质的深刻理解和认同。其间，既要关注语言表达的有序性训练：表述商不变的规律—阐述分数与除法的关系—表达推论，还要关注内部逻辑的联想体验：商不变规律是正确的—分数与除法的关系也是正确的—那么分数的基本性质也应该是正确的。再比如学习“30×2”“400×3”等整十整百数乘一位数的口算时，学生几乎人人都能掌握算法，但却解释不清算理，最多也只是局限于形式上的推演。这时要先引导学生借助直观说理：30就是3个十，要摆3捆小棒。乘2，就要摆出2个3捆小棒，也就是6捆小棒即6个十，也就是60根小棒。在此基础上训练学生用三句话说理：30就是3个十，3个十乘2得6个十，6个十就是60。这里，三句话表达的就是一个演绎推理的过程。用文字语言表达推理过程的契机有很多，比如对整数、小数、分数加减计算算理的解释属于演绎推理，而对分数乘除法算法的归纳总结则属于合情推理等等。教学中要有意识地挖掘，不失时机地训练。 二、应用图形语言直观表达推理过程 图形语言是通过图形的直观形态来表达含义的一种视觉语言，数学中表达空间形式和数量关系的各种图形、表格和图像等都是图形语言。相对于文字语言的准确性，图形语言能更形象直观地表达推理思维过程，二者的有机结合能使数学说理既形象又准确。 2.借助表格建立猜想 数学中的表格不仅有记录整理数学信息的功能，还能反映对象间的变化特点和关系规律。借助表格发现关系、提炼规律、建立猜想，这本身就是一个合情推理的过程，其间图表语言既是工具也是媒介。比如在探究多边形内角和的规律时，可引导学生将研究过程用表格整理记录（表1），有序呈现的数据给学生的归纳推理提供了丰富直观的素材，有利于猜想的建立。再比如研究“周长一定时长方形的面积变化特点”时，可将变化过程用表格整理记录，进而观察发现面积的变化规律（表2）。 3.用图形语言实现深度理解 图形语言的恰当运用，不仅有利于思维的清晰表达，还能实现深度理解。比如研究多边形的内角和时，可借助图形直观让学生获得对“为什么边数-2=三角形的个数”的深度理解（图2）。再比如解决“一面挂钟1时敲1次，2时敲2次……所有半点都敲1次。从1时到12时，它一共敲了多少次？”这一问题时，学生大多认为半点敲的次数也是12次。通过画图（图3），学生不仅明确了答案，还能从间隔排列、一一对应的角度来解释原委。 此外，还可以借助统计图像引导学生展开统计推断。比如根据超市所售某种商品的各月销量折线统计图判断进货量等。 三、应用符号语言形式化表达推理过程 符号语言的应用能让特殊问题一般化、复杂问题简单化，使意义表达简洁无歧义。李士琦在《RME：数学教育心理学》中把数学符号分为四类：字母和数字、标识符（表示数、式、形之间关系的符号，小学阶段如“>”“<”等）、象形符、标点符号[3]。引导学生恰当运用数学符号来表达推理过程，不仅能发展其推理能力，还能渗透初步的形式化思想。 1.用数字和关系符号整理记录推理过程 数字和关系符号是小学生最熟悉、最常用的基本符号语言，训练学生将数字和关系符号相结合来表达推理过程，不仅易于理解接受，还能体会符号对严谨简明表达的作用。比如在解决“一辆载重3 000千克的卡车，装了47桶豆油，每桶豆油连桶重58千克。这辆车超载了吗？”这一问题时，可以先引导学生借助估算说理：把47和58分别看成50和60，看大后相乘的结果是3 000，那么实际的结果一定小于3 000，所以不超载。接著引导学生利用符号整理记录推理过程：47≈50，58≈60;50×60=3 000;47×58<3 000，所以不超载。这里符号语言抽象表征了思维进程，以静显动、逻辑严谨、简洁明了，符号语言的形式、力量之美显露无遗。 2.用字母符号抽象表征和解释说理 寻找、发现和表征数学现象中的规律并尝试解释验证，是小学生开展合情推理的重要形式和内容。其间，小学生最常遭遇的瓶颈是规律的准确表征和对猜想的解释验证。比如在探究乘法分配律的时候，规律的表达是学习的难点。可以先让学生尝试用自然语言表达，在有了“不好说、说不清、太复杂”等体验后，再让学生尝试用字母符号表征，此时学生会再一次回顾推理过程，梳理各部分之间的关系，得出“（a+b）×c=a×c+b×c”这一一般化的数学表达。符号表征的准确简洁与自然语言表达的模糊复杂构成了鲜明的对比，强烈的心理体验会加速“用符号表征规律”思维经验的形成。在解释验证阶段也可以引导学生借助字母符号展开说理，比如有的学生会根据加法和乘法的意义演绎推理：a个c加b个c肯定等于（a+b）个c。也有的学生会借助长方形的面积模型和字母展开类比推理： 尽管不同形态的数学语言在推理活动中有着较强的针对性和适用性，但在实际说理过程中，仍要结合具体内容，强化三种数学语言的互通互译，让学生在多种数学语言的比较中形成感悟。比如在表达平行四边形面积计算原理时，既需要图形语言的直观，又需要文字语言的阐释，还需要符号语言的概括，三种语言形式的互补不仅有利于学生对原理的深刻理解，还有利于学生实现对推理过程、形式的丰富认知。强化不同形态数学语言的互通互译，让数、形、事、理有机结合，能够增强数学说理的解释力，凸显形式与内容的一致性，实现对原理内涵的丰富解读，获得本质理解。仍以乘法分配律理解为例，从文字语言的概括表达到字母符号表征，再到借助长方形面积图形解释说明，这本质上就是一个多种语言形式的互通互译过程。 在实际教学中，教师既要有以数学说理培育儿童推理能力的高视角，还要有扎实训练的低姿态;既要尊重儿童数学语言发展的内部机制，还要积极挖掘推理思维训练点，以融合润化的方式走出一条踏实而精彩的数学说理实践之路。 参考文献 [1] 维科斯基.思维与语言[M].台北：桂冠出版社，1998. [2] 林崇德.发展心理学[M].北京：人民教育出版社，2009. [3] 李士琦.RME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2000. [责任编辑：陈国庆] |
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