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圆锥曲线求解中的易错问题剖析

范文

季慧凤

在网锥曲线的学习中，同学们南于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系，故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏，在繁杂的运算中，忽视等价性，导致“失根”或“增根“的现象。本文针对网锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示，希望引起同学们的高度重视。

易错点1——忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错

警示：注意椭网、双曲线和抛物线隐含条件的限制，认识椭网、双曲线及抛物线蜕化后的线段、射线及直线意义的理解。区分双曲线及双曲线一支。

易错点2——忽略椭圆标准方程

中的隐含条件a2）≠b2）致错

警示：椭网标准方程

中的隐含条件为，在求解参数范围时尤其要注意，原因在于圆不是特殊的椭圆。

易错点3——忽略椭圆或双曲在位置的讨论致错

警示：由椭网标准方程求解参数值时，一定要注意焦点所在的位置，当位置不确定时要分两类进行讨论。

易错点4——忽略直角三角形直角顶点位置的判断致错

警示：焦点三角形为直角三角形，要借助c2，b2的大小关系来判断解的情况，若c22，则直角顶点为两焦点且有两种情形;若c2=b2，则直角顶点为椭网的上下两顶点;若c2>b2，则直角顶点有四种情形。注意椭网的对称性，借助等面积法和半通径的长可求得直角顶点到x轴的距离。

易错点5——忽略椭圆参数方程（三角换元）的应用致错

警示：凡是动点在网或椭网上的有关最值问题，用网或椭网的参数方程，点参式代入构建目标函数，利用三角变换化为三角函数的有界性求解，凸显了参数方程的简化功能。

易错点6——椭圆或圆与曲线有交点时误用判别式或漏用判别式致错

警示：二次曲线与二次曲线的位置关系，隐含曲线的范围，构建方程组消元后转化为二次方程根的分布求解。椭网与直线有交点时，构建方程组消元后转化为二次方程有实数根，此时一定要验证其判别式。

易错点7——忽略直线与抛物线或双曲线的位置关系研究中的特殊情形致错

警示：在直线和曲线的位置关系研究中，设直线方程，然后把直线方程和曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y）的一元二次方程。利用根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，凸显“设而不解，整体思维”的特点，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形的讨论。如本题忽略斜率不存在导致无最小值的结论。

易错点8——“点差法”求解与弦中点有关问题时忽略相交的前提条件致错

警示：“点差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中点的横、纵坐标来表示。凡涉及弦的中点等有关问题都可选用“点差法”简化求解。但用此法必须以直线和圆锥曲线相交为前提，否则就会出错。

易错点9——最值求解中忽视圆锥曲线自身范围的制约致错

警示：求解網锥曲线中的最值或范围问题，应合理构建目标函数，转化为初等函数在区间上的最值，关键是依据曲线自身的范围确定白变量所在的区间。

易错点IO——参数法求动点轨迹方程时忽略“完备性与纯粹性”致错

警示：若动点P（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程的方法叫作参数法。在利用参数法求曲线方程时，一定要合理选择参数且研究参数的范围对横、纵坐标的限制作用，这样求得的方程可保证它的“完备性”和“纯粹性”。

（责任编辑王福华）

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