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例谈严谨与灵活数学思维活动经验的积累

范文

王翠

摘要：在数学思维活动中，严谨与灵活共生并存、相辅相成。要帮助学生形成严谨与灵活（相结合）的思维活动经验，可以有以下策略：变式中见灵活，让本质源于感知、归于思辨;联结中现严谨，让因果散于分析、收于整合;统整中显融合，让思维严谨与灵活并存。

关键词：数学思维活动经验严谨与灵活变式联结统整

现代教育理念指出，数学学习应当像数学研究一样，是一种问题驱动的探索（探究）性活动，要经历“再发现”“再创造”的过程。这种探索性活动的基本过程是猜想与证明（验证或论证）或反驳（证伪）的循环往复、螺旋上升。

数学是思维的学科。数学的探索主要是思维的探索。从思维的角度看，证明与反驳强调思维的严谨性（对数学对象的叙述要精确，对数学结论的论证要周密，要将有关的数学内容组成一个严谨的逻辑系统），猜想强调思维的灵活性（能从不同的角度抓住问题情境的特征，灵活运用已有的数学知识，不断调整思维方向去解决问题;能具体问题具体分析，根据情况的变化及时调整原有的思维过程与方法，灵活选择最优的思维过程与方法去解决问题）。可见，在数学思维活动中，严谨与灵活共生并存、相辅相成。

因此，数学教学要帮助学生积累严谨与灵活（相结合）的思维活动经验，发展相应的思维能力。具体地，可以有以下策略：

一、变式中见灵活，让本质源于感知、归于思辨

小学生还处于从具体形象思维到抽象逻辑思维过渡的阶段，解决问题的思路与方法多源于感知，见于想象与直觉。此时的学生往往不能透过表象看本质，思维容易单一化，不能举一反三。对此，我们在教学中可以不断变换直观材料，并引导学生变更观察角度，从而突出本质要素，让学生的思维在变式中变得灵活。

例如，解决组合图形的表面积问题时，部分学生注重公式的记忆，忽视概念的本质，因而思维固化。对此，我打破教学常规，专门设计了《正方体表面积的变化》一课，让学生的思维在变式中不断活化。

课前，让学生准备棱长10厘米的白色正方体、棱长5厘米的红色正方体和棱长3厘米的黑色正方体各1个。

课上，先让学生画出或想象一样大的2个正方体拼接在一起的情况，学生发现：表面积减少了2个面的面积，所以可以用2个正方体的表面积减去2个面的面积。接着，引导学生深入思考：一样大的3个正方体拼接在一起，表面积减少了什么？学生推想（算）得到：4个面的面积。由此，引导学生小结：以此类推，一样大的n个正方体拼接在一起，重合了n-1次，表面积减少了2（n-1）个面的面积（因为每重合一次，就有2个面被遮住了）。

然后，让学生操作实物，研究一大一小2个正方体拼接在一起的情况（如图1），学生得到两种计算方法：（1）大正方体的表面积+小正方体的表面积-2个小正方体的面的面积;（2）大正方体的表面积+4个小正方体的面的面积（2个小正方体的面被遮住了，所以只加4个）。由此，引导学生小结：一大一小2个正方体拼接，表面积的变化是减少2个较小的面的面积。

最后，让学生操作实物，研究一大一中一小3个正方体拼接在一起的情况，学生经过充分的操作、思考和讨论，发现6种情况：三种一字形，即宝塔形（如图2）、橄榄形（如图3）、哑铃形（如图4）;两种L字形（如图5、图6）;一种拐角形（如图7）。并依次得到表面积减少的情况：图2、图3、图5、图6中都减少了2个中正方体的面的面积和2个小正方体的面的面积;图4中减少了4个小正方体的面的面积;图7中情况减少了2个中正方体的面的面积和4个小正方体的面的面积。由此，引导学生总结：图2—图6中都重合了2次，因此，要减去4个面的面积;图4中2次重合都有小正方体的参与，因此，减去的都是小正方体的面的面积，此时，减少得最少，所求的表面积最大;图7中重合了3次，因此，要减去6个面的面积，此时，减少得最多，所求的表面积最小。

这里的一系列表面积变化问题的变式，由简到繁、由浅入深，从一样大的正方体拼接到不一样大的正方体拼接、从2个正方体拼接到3个（或更多）正方体拼接，引导学生逐步打开思维，举一反三，从感知走向思辨，找到变化中的不变：每次重合都要减去2个较小的面的面积。由此，学生突破了对公式的模式化记忆，真正透过表象掌握了表面积变化的本质，提升了思维的灵活性。

二、联结中现严谨，让因果散于分析、收于整合

數学学习，不仅要知道知识是什么，而且要洞察为什么，从而让知识组成严谨的逻辑系统。所以，我们在教学中不仅要注重“变”，而且要注重“联”：洞悉数学知识的源流关系，把握数学知识的来龙去脉，引导学生通过联结、把握因果（及相关）关系，从点状分析走向块状整合，以提升思维的严谨性。

例如，教学《乘法分配律》一课，教师往往引导学生经历猜测—验证的过程。但是，举例验证最大的问题就是不完全归纳的严谨性不够、说服力不强——即便所举的数量较大。怎样让乘法分配律的获得变得严谨一些？考虑到一般来说，乘法分配律的形式化证明超出了小学生的理解能力，许卫兵老师转换表征，化“数”为“形”，引导学生直观思考乘法分配律的“为什么”。

教师创设三兄弟种菜的情境，先出示老大的菜地图（如图8），要求学生列式算出青菜地和萝卜地的面积和。学生完成后，教师引导学生交流算法，板书分开来算和合起来算两种思路的算式，进而建立等式（6+2）×9=6×9+2×9。然后，教师追问：为什么可以合起来算？学生把两个长方形左右相拼（如图9）。

教师再出示老二的菜地图（如图10），要求学生列式计算两块地的面积和。学生完成后，教师追问：为什么不合起来算了？学生回答：没有相同长度的边，不能拼成大的长方形。

教师又出示老三的菜地图（如图11），要求学生列式计算两块地的面积和。学生完成后，教师引导学生交流算法，板书分开来算和合起来算两种思路的算式，进而建立等式（8+3）×6=8×6+3×6。然后，教师追问：为什么又可以合起来算了？学生把两个长方形上下相拼（如图12），并说明：有相同长度的边，可以拼成大的长方形。

引发了（a+b）×c=a×c+b×c的一般化猜想后，教师让学生举例验证，然后提问：这个发现也可以看成两个长方形面积和的不同算法吗？接着，出示图13并提问：如果它是甲、乙两个长方形的面积和，那么，a、b、c分别是图中哪里的长度？

这里，许老师抓住数和形的联系，将“乘法分配律”和“长方形的面积计算”联结起来，让学生用形的特征去思考数的规律，起到了“四两拨千斤”的作用，并让乘法分配律的获得变得更严谨。“老大的菜地”问题初显乘法分配律的雏形;“老二的菜地”问题变成了反例，引导学生思考乘法分配律的关键要素（本质特征）;“老三的菜地”问题又变成了不同的正例（一个长方形的长和另一个长方形的宽相等），从而凸显了乘法分配律的关键要素——有相同的乘数。

三、统整中显融合，让思维严谨与灵活并存

所谓统整，是指在“变”中求“联”，从知识点到知识块再到知识群，进而建立知识结构和认知系统。这样的建构过程可以融合思维活动经验的严谨性（有联系）与灵活性（有变化）。

例如，“角的度量”一直都是学生学习的难点。究其原因：其一，角的大小是二维属性，虽然学生有丰富的长度度量经验，但是一维空间的度量经验不容易正迁移到二维空间的度量中;其二，量角器的结构比学生熟悉的直尺复杂。对此，可以统整“测量”的有关内容，从直尺这一“量长度器”的使用出发，在“变”中求“联”，类比引出量角器的作用和用法，进而感悟和揭示测量的本质，复习或铺垫其他量的测量。简要教学设计如下：

1.激活已有经验。

提问：角的度量单位是什么？度量工具是什么？

启发：我们以前用直尺来测量长度，用1厘米的长度来作为标准，有几个1厘米就是几厘米。

2.认识1°角。

联系：角的单位是度（°），尺子上有1厘米，那量角器上就应该有1°。

活动：在量角器上找一找1°在哪。

学生在找1°时认识量角器，发现：相邻两条刻度线之间都是1°，一共有180个1°。

介绍：虽然1°很小，可是它非常重要，是计量角的大小的一个基本单位。

3.认识10°角。

活动：在量角器上找一找10°的角。

小结：无论怎么找，只要有10个1°，这个角的大小就是10°。

4.探索量角的方法（略）。

5.建构知识的联系。

提问：长度的度量和角的度量有什么相同的地方？

小结：测量长度时，产生度量工具“量长度器——尺”的需求，建立1厘米的概念，认识几厘米就是几个1厘米的叠加;测量角的大小时，产生度量工具“量角器”的需求，建立1°的概念，知道几度就是几个1°的叠加。

延伸：除了度量长度、角，其实我们还度量过面积、质量，将来我们还要度量体积等，这些度量之间有很多相通的地方，希望同学们可以带着这样的经验继续学习。

这里，教师通过“统整”，让学生感悟到无论测量长度还是测量角，就本質而言，都是看“某一个长度、角里有多少个度量单位”，从而融合了“测量”的有关经验。在这一过程中，学生将已有的经验“1厘米”“直尺”与新知识“1°”“量角器”类比关联，从而抽象出测量的本质，使得思维趋于严谨;在此基础上，又变化扩展到测量领域的其他内容，做到举一反三，使得思维更加灵活。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“小学数学思维活动经验形成的案例研究”（编号：Ca/2016/02/01）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）.

[2] 李建梅，许卫兵.突出模型思想渗透建模教学——对《乘法分配律》的教学异构[J].江苏教育，2013（7/8）.

[3] 朱向明.数学思维活动经验及教学策略[J].新课程研究（上旬刊），2014（11）.

[4] 顾亚龙.题组模块：给数学课堂以生长的力量[J].小学数学教师，2019（1）.

[5] 何银华.单元“类教学”：重建数学整体课程[J].数学教学通讯，2018（22）.

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