标题 | 例谈严谨与灵活数学思维活动经验的积累 |
范文 | 王翠 摘要:在数学思维活动中,严谨与灵活共生并存、相辅相成。要帮助学生形成严谨与灵活(相结合)的思维活动经验,可以有以下策略:变式中见灵活,让本质源于感知、归于思辨;联结中现严谨,让因果散于分析、收于整合;统整中显融合,让思维严谨与灵活并存。 关键词:数学思维活动经验严谨与灵活变式联结统整 现代教育理念指出,数学学习应当像数学研究一样,是一种问题驱动的探索(探究)性活动,要经历“再发现”“再创造”的过程。这种探索性活动的基本过程是猜想与证明(验证或论证)或反驳(证伪)的循环往复、螺旋上升。 数学是思维的学科。数学的探索主要是思维的探索。从思维的角度看,证明与反驳强调思维的严谨性(对数学对象的叙述要精确,对数学结论的论证要周密,要将有关的数学内容组成一个严谨的逻辑系统),猜想强调思维的灵活性(能从不同的角度抓住问题情境的特征,灵活运用已有的数学知识,不断调整思维方向去解决问题;能具体问题具体分析,根据情况的变化及时调整原有的思维过程与方法,灵活选择最优的思维过程与方法去解决问题)。可见,在数学思维活动中,严谨与灵活共生并存、相辅相成。 因此,数学教学要帮助学生积累严谨与灵活(相结合)的思维活动经验,发展相应的思维能力。具体地,可以有以下策略: 一、变式中见灵活,让本质源于感知、归于思辨 小学生还处于从具体形象思维到抽象逻辑思维过渡的阶段,解决问题的思路与方法多源于感知,见于想象与直觉。此时的学生往往不能透过表象看本质,思维容易单一化,不能举一反三。对此,我们在教学中可以不断变换直观材料,并引导学生变更观察角度,从而突出本质要素,让学生的思维在变式中变得灵活。 例如,解决组合图形的表面积问题时,部分学生注重公式的记忆,忽视概念的本质,因而思维固化。对此,我打破教学常规,专门设计了《正方体表面积的变化》一课,让学生的思维在变式中不断活化。 课前,让学生准备棱长10厘米的白色正方体、棱长5厘米的红色正方体和棱长3厘米的黑色正方体各1个。 课上,先让学生画出或想象一样大的2个正方体拼接在一起的情况,学生发现:表面积减少了2个面的面积,所以可以用2个正方体的表面积减去2个面的面积。接着,引导学生深入思考:一样大的3个正方体拼接在一起,表面积减少了什么?学生推想(算)得到:4个面的面积。由此,引导学生小结:以此类推,一样大的n个正方体拼接在一起,重合了n-1次,表面积减少了2(n-1)个面的面积(因为每重合一次,就有2个面被遮住了)。 然后,让学生操作实物,研究一大一小2个正方体拼接在一起的情况(如图1),学生得到两种计算方法:(1)大正方体的表面积+小正方体的表面积-2个小正方体的面的面积;(2)大正方体的表面积+4个小正方体的面的面积(2个小正方体的面被遮住了,所以只加4个)。由此,引导学生小结:一大一小2个正方体拼接,表面积的变化是减少2个较小的面的面积。 最后,让学生操作实物,研究一大一中一小3个正方体拼接在一起的情况,学生经过充分的操作、思考和讨论,发现6种情况:三种一字形,即宝塔形(如图2)、橄榄形(如图3)、哑铃形(如图4);两种L字形(如图5、图6);一种拐角形(如图7)。并依次得到表面积减少的情况:图2、图3、图5、图6中都减少了2个中正方体的面的面积和2个小正方体的面的面积;图4中减少了4个小正方体的面的面积;图7中情况减少了2个中正方体的面的面积和4个小正方体的面的面积。由此,引导学生总结:图2—图6中都重合了2次,因此,要减去4个面的面积;图4中2次重合都有小正方体的参与,因此,减去的都是小正方体的面的面积,此时,减少得最少,所求的表面积最大;图7中重合了3次,因此,要减去6个面的面积,此时,减少得最多,所求的表面积最小。 这里的一系列表面积变化问题的变式,由简到繁、由浅入深,从一样大的正方体拼接到不一样大的正方体拼接、从2个正方体拼接到3个(或更多)正方体拼接,引导学生逐步打开思维,举一反三,从感知走向思辨,找到变化中的不变:每次重合都要减去2个较小的面的面积。由此,学生突破了对公式的模式化记忆,真正透过表象掌握了表面积变化的本质,提升了思维的灵活性。 二、联结中现严谨,让因果散于分析、收于整合 數学学习,不仅要知道知识是什么,而且要洞察为什么,从而让知识组成严谨的逻辑系统。所以,我们在教学中不仅要注重“变”,而且要注重“联”:洞悉数学知识的源流关系,把握数学知识的来龙去脉,引导学生通过联结、把握因果(及相关)关系,从点状分析走向块状整合,以提升思维的严谨性。 例如,教学《乘法分配律》一课,教师往往引导学生经历猜测—验证的过程。但是,举例验证最大的问题就是不完全归纳的严谨性不够、说服力不强——即便所举的数量较大。怎样让乘法分配律的获得变得严谨一些?考虑到一般来说,乘法分配律的形式化证明超出了小学生的理解能力,许卫兵老师转换表征,化“数”为“形”,引导学生直观思考乘法分配律的“为什么”。 教师创设三兄弟种菜的情境,先出示老大的菜地图(如图8),要求学生列式算出青菜地和萝卜地的面积和。学生完成后,教师引导学生交流算法,板书分开来算和合起来算两种思路的算式,进而建立等式(6+2)×9=6×9+2×9。然后,教师追问:为什么可以合起来算?学生把两个长方形左右相拼(如图9)。 教师再出示老二的菜地图(如图10),要求学生列式计算两块地的面积和。学生完成后,教师追问:为什么不合起来算了?学生回答:没有相同长度的边,不能拼成大的长方形。 教师又出示老三的菜地图(如图11),要求学生列式计算两块地的面积和。学生完成后,教师引导学生交流算法,板书分开来算和合起来算两种思路的算式,进而建立等式(8+3)×6=8×6+3×6。然后,教师追问:为什么又可以合起来算了?学生把两个长方形上下相拼(如图12),并说明:有相同长度的边,可以拼成大的长方形。 引发了(a+b)×c=a×c+b×c的一般化猜想后,教师让学生举例验证,然后提问:这个发现也可以看成两个长方形面积和的不同算法吗?接着,出示图13并提问:如果它是甲、乙两个长方形的面积和,那么,a、b、c分别是图中哪里的长度? 这里,许老师抓住数和形的联系,将“乘法分配律”和“长方形的面积计算”联结起来,让学生用形的特征去思考数的规律,起到了“四两拨千斤”的作用,并让乘法分配律的获得变得更严谨。“老大的菜地”问题初显乘法分配律的雏形;“老二的菜地”问题变成了反例,引导学生思考乘法分配律的关键要素(本质特征);“老三的菜地”问题又变成了不同的正例(一个长方形的长和另一个长方形的宽相等),从而凸显了乘法分配律的关键要素——有相同的乘数。 三、统整中显融合,让思维严谨与灵活并存 所谓统整,是指在“变”中求“联”,从知识点到知识块再到知识群,进而建立知识结构和认知系统。这样的建构过程可以融合思维活动经验的严谨性(有联系)与灵活性(有变化)。 例如,“角的度量”一直都是学生学习的难点。究其原因:其一,角的大小是二维属性,虽然学生有丰富的长度度量经验,但是一维空间的度量经验不容易正迁移到二维空间的度量中;其二,量角器的结构比学生熟悉的直尺复杂。对此,可以统整“测量”的有关内容,从直尺这一“量长度器”的使用出发,在“变”中求“联”,类比引出量角器的作用和用法,进而感悟和揭示测量的本质,复习或铺垫其他量的测量。简要教学设计如下: 1.激活已有经验。 提问:角的度量单位是什么?度量工具是什么? 启发:我们以前用直尺来测量长度,用1厘米的长度来作为标准,有几个1厘米就是几厘米。 2.认识1°角。 联系:角的单位是度(°),尺子上有1厘米,那量角器上就应该有1°。 活动:在量角器上找一找1°在哪。 学生在找1°时认识量角器,发现:相邻两条刻度线之间都是1°,一共有180个1°。 介绍:虽然1°很小,可是它非常重要,是计量角的大小的一个基本单位。 3.认识10°角。 活动:在量角器上找一找10°的角。 小结:无论怎么找,只要有10个1°,这个角的大小就是10°。 4.探索量角的方法(略)。 5.建构知识的联系。 提问:长度的度量和角的度量有什么相同的地方? 小结:测量长度时,产生度量工具“量长度器——尺”的需求,建立1厘米的概念,认识几厘米就是几个1厘米的叠加;测量角的大小时,产生度量工具“量角器”的需求,建立1°的概念,知道几度就是几个1°的叠加。 延伸:除了度量长度、角,其实我们还度量过面积、质量,将来我们还要度量体积等,这些度量之间有很多相通的地方,希望同学们可以带着这样的经验继续学习。 这里,教师通过“统整”,让学生感悟到无论测量长度还是测量角,就本質而言,都是看“某一个长度、角里有多少个度量单位”,从而融合了“测量”的有关经验。在这一过程中,学生将已有的经验“1厘米”“直尺”与新知识“1°”“量角器”类比关联,从而抽象出测量的本质,使得思维趋于严谨;在此基础上,又变化扩展到测量领域的其他内容,做到举一反三,使得思维更加灵活。 *本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“小学数学思维活动经验形成的案例研究”(编号:Ca/2016/02/01)的阶段性研究成果。 参考文献: [1] 郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报,2015(1). [2] 李建梅,许卫兵.突出模型思想 渗透建模教学——对《乘法分配律》的教学异构[J].江苏教育,2013(7/8). [3] 朱向明.数学思维活动经验及教学策略[J].新课程研究(上旬刊),2014(11). [4] 顾亚龙.题组模块:给数学课堂以生长的力量[J].小学数学教师,2019(1). [5] 何银华.单元“类教学”:重建数学整体课程[J].数学教学通讯,2018(22). |
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