| 标题 | 关于用格林函数法求解静电场问题的讨论 |
| 范文 | 白正阳 摘 要 格林函数又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要的概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下产生的场。知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场。由于积分与坐标系无关，人们可以采用不同坐标系，应用多种数理方法建立格林函数，因而使格林函数的计算获得了广泛的应用。应用格林函数处理电磁场工程问题，在某些场合可以使解的表达式更加简洁，处理方法更加巧妙。 关键词 格林函数 ；静电场；问题探讨 中图分类号O441 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）49-0111-02 1 用格林函数法求解静电场问题 格林函数法： 引入格林函数，表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即应满足方程： 现在我们利用格林公式导出泊松方程的积分表达式。以乘（1），u(r)乘（2），相减，然后在区域T中求积分，得 应用格林公式将上式左边的体积分化为面积分。但是，注意到在r=r0 点，具有函数的奇异性，格林公式不适用。解决的办法是先从区域T中挖去包含r0，半径为ε的小球Kε ，对剩下的体积，格林公式成立， 将（4）代入挖去Kε的（3），并注意r≠r0,故=0，于是 当，方程（2）的解 令，得（3）右边→ 左边→ 即得泊松方程的基本积分公式： 1）对于第一边值问题，u在边界∑上的值为已知的函数φ（M），令G满足齐次的第一类边值条件G|∑=0，得 （7） 2）对于第二边值问题，不符合现实物理意义，需要使用推广格林函数，这里暂不介绍了。 3）对于第三边值问题。令v满足齐次的第三边值条件，得 最后利用格林函数具有对称性G（r,r0）=G（r0,r）得： 第一边值问题解的积分表达式: 第三边值问题解的积分表达式： 2 格林函数法求解静电场实际应用 首先对使用格林函数法解决静电场问题进行一个总结 由题设边界条件判断是哪一类边值问题，然后根据边界面的形状决定取哪—个格林函数。选定格林函数后，求出它的具体函数形式以及它在边界面上的函数值或法向微商代入积分计算。格林函数的选法有时不止一种，但关键是要把格林公式中含有未知量部分的积分变为零。 有了以上理论基础，我们来尝试解决几个实际问题。 2.1 常见区域的格林函数 1）无界空间的格林函数 在r-0点上一个单位点电荷在无界空间激发的电势为 以球心O为坐标原点，球空间的半径为R0设电荷所在点P的直角坐标为（x, y, z），球坐标为（R，θ，Φ），场点P的直角坐标为（x , y, z ），球坐标为（R ，θ，Φ）.(为避免混淆，这里符号与上文有少许不一致)。同样有镜像法得： 2.2 无穷大导体板上有一半球形凸起(半径为R0)，Z轴过球心并与板面垂直，Z轴上z=2R0处有点电荷q 写出上半空间的格林函数； 用格林函数法求解Φ。 解 :（1）采用球坐标（r，θ，Φ），见图5。X处q1=1的点电荷和像电荷2，3，4共同产生。像电荷q2=-R0/R,b2=R02/R；像电荷q3=-q1=-1,b3= R; 像电荷q4=R0/R,b0=R02/R; 参考文献 [1]J.D.Jackson.Classical Electrodynamics[M].高等教育出版社，2004，4. [2]郭硕鸿.电动力学.3版[M].高等教育出版社，2008，6. [3]符果行.电磁场中的格林函数法[M].高等教育出版社，1993，7. [4]林璇英，张之翔.电动力学题解[M].科学出版社，2002. |
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