| 标题 | 一类含绝对值函数的单调区间和最小值 |
| 范文 | 甘荣 摘 ?要：关于含绝对值函数f（x）=aix-bi（ai∈Q且ai≠0，bi∈R）的单调性和最小值问题，通常是采用分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，借助图象进行求解，但过程复杂. 笔者在多年的高中数学教学实践中，通过对该类函数的单调性和最小值的深入探究，掌握了一种简捷的求解方法，避免烦琐的运算和麻烦的作图，本文以定理的形式给出它的一般结论，并说明其应用. 关键词：绝对值函数;单调区间;最小值;应用 由图象可知，函数f（x）=x-a在（-∞，a）上是减函数，在[a，+∞）上是增函数，当x=a时，f（x）取最小值f（a）=0;函数f（x）=x-a+x-b（a 定理 函数f（x）= ?x-bi（b1 其中x表示不超过实数x的最大整数，例如 ?=5.8=5，以下文同. 证眀：当x≤b1时，f（x）的图象是射线f（x）=-nx+ ?bi，且x→-∞时，f（x）→+∞; 当x≥bn时，f（x）的图象是射线f（x）=nx- ?bi，且x→+∞时，f（x）→+∞; 当bi≤x≤bi+1（i=1，2，…，n-1）时，f（x）的图象是线段f（x）=（2i-n）x+ci（其中ci=bn+bn-1+…+bi+1-bi-bi-1-…-b2-b1）; （1）当n=2k-1（k∈N*）时， 若i≤k-1，则2i-n=2（i-k）+1≤2（k-1-k）+1<0， 所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为减函数; 若i≥k，则2i-n=2（i-k）+1≥2（k-k）+1>0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为增函数. 所以，当n=2k-1（k∈N*）即n为奇数时，函数f（x）在（-∞，bk]上是减函数，在[bk，+∞）上是增函数，且当x=bk时，f（x）取最小值为f（bk）. 又n=2k-1（k∈N*）时， ?= ?+1=k;故当n=2k-1（k∈N*）即n为奇数时，函数f（x）在-∞，b ? ?上是减函数，在b ? ?？摇+1，+∞上是增函数，且当x∈b ? ?？摇，b ? ?？摇+1时，f（x）取最小值为fb ? ?？摇=fb ? ?？摇+1.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 （2）当n=2k（k∈N*）时， 若i≤k-1，则2i-n=2（i-k）≤2（k-1-k）<0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为减函数;若i≥k+1，则2i-n=2（i-k）≥2（k+1-k）>0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为增函数;若i=k，则2i-n=0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上恒为常数ci. 所以，当n=2k（k∈N*）即n为偶数时，函数f（x）在（-∞，bk]上是减函数，在[bk+1，+∞）上是增函数，当x∈[bk，bk+1]时，f（x）取最小值为f（bk）=f（bk+1）. 又当n=2k（k∈N*）时， ?=k， ?+1=k+1，故当n=2k（k∈N*）即n为偶数时，函数f（x）在-∞，b ? ?上是减函数，在b ? ?？摇+1，+∞上是增函数，当x∈b ? ?？摇，b ? ?？摇+1时，f（x）取最小值为fb ? ?=fb ? ?？摇+1. 综上所述，定理得证. 特别地，当常数bi（i=1，2，…，n）有相等值时，同样对bi从小到大排序，定理中的结论也成立. 由此可得 推广 函数f（x）= ?aix-bi（ai∈Q且ai≠0，bi∈R）总可化为f（x）= ? ?x-xi（x1≤x2≤…≤xn，m，n∈N*）的形式，且f（x）在-∞，x ? ?上是减函数，在x ? ?？摇+1，+∞上是增函数，当x∈x ? ?，x ? ?？摇+1 时，f（x）取最小值为fx ? ?=fx ? ?？摇+1. 下面举例说明定理及推广的应用 例1 ?（2012年“北约” 高校自主招生试题第1题）求x的取值范围，使得f（x）=x+2+x+x-1是增函数. 解：由定理知，所求x的取值范围是[0，+∞）. 例2 （2006年高考全国卷2试题第12题）函数f（x）= ?x-n的最小值为（ ?） A. 190 B. 171 C. 90 D. 45 解：由定理知 f（x）min=f ?？摇+1=f（10）=2（1+2+…+9）=90，故选C. 例3 ?（2007年全国高中数学联赛试题）设实数a使得不等式2x-a+3x-2a≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ?） A. - ?， ? B. - ?， C. - ?， ? D. [-3，3] 解：原不等式等价于x- ?+x- ?+x- ?+x- ?+x- ?≥a2恒成立. 由推广，对任意实数a都有函数 f（x）=x- ?+x- ?+x- ?+x- ?+x- ?的最小值等于f ?= ?. 所以，只需 ?≥a2=a2，解得- ?≤a≤ ?，故选A. 例4 求函数f（x）= ?+1+ ?-1+ ?-1+1的单调区间和最小值. 解：令g（x）= ?+1+ ?-1+ ?-1，则g（x）= ?（x+2+x+2+x+2+x-3+x-3+x-6）. 又g（x）与f（x）的单调性相同，由推广知f（x）在（-∞，-2]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数， 所以当x∈[-2，3]时，f（x）min=f（3）= ?+1+ ?-1+ ?-1+1=4. 例5 ?（2011年“北约” 髙校自主招生试题第7题） 求f（x）=x-1+2x-1+3x-1+…+2011x-1的最小值. 解：因为f（x）=x-1+x- ?+x- ?+…+ ?， 且f（x）的右边共有1+2+3+…+2011=2023066项. 由于数列{an}： 1，（2，2），（3，3，3），…，（ ?）（k∈N*，且1≤k≤2011）的前k-1项的和Sk-1= ?，显然 ?+1=n，解得k= ?. 因为数列{an}中相同的项有n个（n∈N*），所以，k是 ?的整数部分，于是通项an= ?. 又因为 ?=1011533， ?+1=1011534，所以 a1011533= ?=1422， a1011534= ?=1422. 于是，由推广知，当x∈ ?， ?时， f（x）min=f ?=1- ?+1- ?+…+1- ?+ ?-1+ ?-1？摇+…+ ?-1=1422- ?+ ?=1422- ?- ?+ ?=1422- ?=1422- ?=1422- ?= ?. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。