| 标题 | 两类抽象函数的周期性与对称性探究 |
| 范文 | 徐永贤 【摘要】抽象函数不仅是高中数学教学的难点，也是高考的热点，特别是抽象函数中的周期型抽象函数和对称型抽象函数问题，是绝大多数学生最困惑、最难以解决的问题，因此，熟练掌握这两类抽象函数是非常重要的. 【关键词】周期型;对称型;抽象函数 在日常学习中，抽象函数是经常困扰学生学好函数的拦路虎，要想学好抽象函数就得熟练掌握两种类型的抽象函数：周期型抽象函数和对称型抽象函数，下面就这两类抽象函数做一些探究，供大家参考学习. 一、周期型抽象函数 （一）f（x）=f（x+T）型周期函数 周期函数定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期. 例1设f（x）是定义在R上的偶函数，图像关于x=1对称，任给的x1，x2∈0，12都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）且f（1）=a>0.求证：f（x）是周期函数. 证明∵f（x）的图像关于x=1对称， ∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R. 又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R， ∴f（-x）=f（2-x），x∈R， 将上式中-x以x代换得f（x）=f（x+2）， ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. （二）f（x+a）=f（b+x）型周期函数 若f（x+a）=f（b+x），则函数f（x）的周期为T=|b-a|. 证明令x=x-a，则f（x）=f（x+b-a）. 例2偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=110x在0，103 上根的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解由已知条件f（x-1）=f（x+1）得周期为T=2， 又∵在x∈[0，1]时，f（x）=x2，且f（x）是偶函数，∴f（x）=x2，x∈[-1，1]， ∴f103=f103-4=f-23=f23， 由图知f（x）=110x在[0，3]上根的个数是3个， ∵y=1103=11000<f23=49， ∴f（x）=110x在3，103上根的个数是0个. 故关于x的方程f（x）=110x在0，103上根的个数是3个.因此，选C. （三）f（x+a）=-f（x+b）型周期函数 若f（x+a）=-f（x+b），则函数f（x）的周期T=2|b-a|. 证明令x=x-a，∴f（x）=-f（x+b-a）.① 令x=x-b，∴f（x+a-b）=-f（x）.② 由①②得-f[x+（a-b）]=-f[x+（b-a）]， ∴f[x+（a-b）]=f[x+（b-a）]， ∴T=2|b-a|. 例3设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当-1<x≤1时f（x）=2x-1，求当1<x≤3时，f（x）的解析式. 解由任意的x∈R有f（x）=-f（x+2）， 得T=2|2-0|=4. 設x∈（1，3]，则（x-2）∈（-1，1]，于是 f（x-2）=f（x-2+4）=f（x+2）=-f（x）， ∴f（x）=-f（x-2）=-[2（x-2）-1]=-2x+5， 故当1<x≤3时，f（x）=-2x+5. 二、对称型抽象函数 f（a+x）=f（b-x）（或f（2a-x）=f（x）或f（2a+x）=f（-x））型对称函数 ① 若f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2. ② 若f（2a-x）=f（x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a. ③ 若f（2a+x）=f（-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a. 下面仅对结论①进行证明，②③可类似证明. 证明要证函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2成立， 只需证fa+b2+x=fa+b2-x. 令x=b-a2+x，代入f（a+x）=f（b-x）， 则fa+b2+x=fa+b2-x. 抽象函数的学习，必须灵活把握两类函数中a，b的不同取值，以及注意函数f（x）前正负号的差异，并通过不断的学习积累，对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果. |
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