“正方形的４个角是直角”的逆命题是什么
沈仁广
最近，听了一节公开课，课题是苏科版《数学》(八下)教材的§11．4“互逆命题”．上 课期间教师向学生提出了一组命题，要求学生说出这些命题的逆命题．这些命题中有一条就是本文标题提及的“正方形的4个角是直角”．稍作沉思后，有学生回答说：这个命题的逆命题是“直角是正方形的4个角”．由于学生的回答不是老师预期的，所以主讲老师走向黑板画了一个正方形，并用“已知”和“求证”的形式写下了上述命题，最后，就得出了“如果一个四边形的4个角都是直角，那么这个四边形是正方形”的正确结论(这也是教参上的标准答案)．事后，据笔者观察，相当一部分的学生还是一脸盲然，可谓说者云云，听者昏昏．学生是如此，那么听课的教师对这个问题又是怎样想的呢?我与部分教师交流后得知，确实有相当一部分教师也存在着不解，学生的答案错在哪里?课堂教学中教师应该怎样分析和生成一个命题的逆命题?教师们普遍觉得这部分内容难教难学，其实要解决这些问题我们还要从命题本身谈起!
目前，中学教材中一般都直接用“判断”来定义命题，所以，要研究命题及其逆命题就不能不研究“判断”．本文拟先从“判断”入手、然后再研究命题及其逆命题，以期最终能帮助教师彻底弄清上述问题．
1 判断及其分类
判断是对思维对象及其属性有所肯定或否定的思维形式．判断有两个基本逻辑特征：①对事物有所断定，即肯定或否定；②判断的真假．若判断所反映的和断定事物的情况符合实际就是真判断；否则就是假判断(本文暂不讨论判断和命题的真假)．判断作为一种思维形式，必然需要一定的物质载体，判断的内容通常可以用陈述句表达，例如：
(1)a．一切同边数的正多形都是相似的；
b．负数没有对数；
c．有些一元二次方程没有实数根．
等都是判断．ジ据不同的标准可把判断进行分类．首先，按判断本身是否还包含其它的判断而分为简单判断和复合判断．
简单判断是指判断本身不再包含其它判断的判断．如果一个简单判断所断定的是对象的性质，我们就把这样的简单判断叫做性质判断．例如：“一切三角形都有外接圆”、“正方形的边相等”等都属于性质判断(又称直言判断)；我们把判定事物与事物间关系的简单判断叫做关系判断．例如：“△ABC相似于△A′B′C′”、“直线a⊥直线b”，都属于关系判断．
简单判断由主项、谓项、量项、联项四部分组成．现将其逻辑结构分析如下：如(1)中“同边数的正多边形”、“负数”、“一元二次方程”分别是这四个判断的主项．谓项表示主项具有或者不具有的性质．如“相似的”、“对数”、“实数根”就分别是这三个判断的谓项．
量项表示主项的数量，反映判断的量的差别．根据量的多少，量项可分为全称量项和特称量项两类，表示对象全体的叫做全称量项，常用“所有”、“一切”、“任何”、“凡”、“每一个”等词表达，表示对象一部分的叫做特称量项，常用“有些”、“有的”等词表达．在数学中，为了表达简洁，简单判断的量项常常省略．如(1-b)省略了量项“所有”．
联项表示主项和谓项之间的关系，反映判断的质的差异．根据质的不同，联项可分为肯定联项和否定联项两类．通常用“是”或“有”表达肯定联项；用“不是”或“没有”表示否定联项．简单判断的联项有时也可省略．
在简单判断中，决定判断形式的主要是量项和联项．根据判断的量项是全称，还是特称，可以把判断分为全称判断和特称判断．根据判断的联项是肯定，还是否定，可以把判断分为肯定判断和否定判断. 这样，把判断的量和质结合起来研究，简单判断就有四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断．一般地，我们如果用英文字母s和p分别表示判断的主项和谓项，那么上述四种判断中的全称肯定判断和特称否定判断的逻辑表达式就分别是：“所有s是p”、“有的s不是p”．
复合判断是指判断本身还包含其它判断的判断，通常由两个或两个以上的简单判断通过逻辑联结词联结起来而组成，组成复合判断的简单判断称为复合判断的肢判断．复合判断按其肢判断的不同结合情况(指按不同的逻辑联结词所联结起来)而分为联言判断、选言判断、假言判断等.
联言判断是指同时断定了事物几种情况的判断．其联结词有“与”、“而且”、“一方面…，另一方面…”、“既…，又…”等，若用p、q表示判断，则联言判断的逻辑公式为：“p∧q”(符号“∧”读“合取”，表示联言判断的逻辑联结词)即“p而且q”．
选言判断是指断定事物若干可能情况的判断．例如：“这个四边形是平行四边形或者是菱形或者是正方形”．选言判断的逻辑表达式是：“p∨q(符号“∨”读“析取”，表示选言判断的逻辑词)．
假言判断是指有条件地判定某事物情况存在的判断．它是反映事物之间条件和结果关系的判断．其逻辑联结词通常是“如果…那么…”、“若…则…”，其逻辑公式是：“p→p”．
2 数学判断与数学命题
数学判断是对事物的空间形式及数量关系有所肯定或否定的思维形式．用来表示数学判断的语句或符号的组合称为数学命题．根据对判断的分类，数学命题对应的也有简单命题、复合命题之分；简单命题又有性质命题和关系命题之分；复合命题又有联言命题、选言命题和假言命题之分．关于数学命题的划分可见下面的图式：
ナ学命题简单命题性质命题；す叵得题.
じ春厦题联言命题；ぱ⊙悦题；ぜ傺悦题.
ナ学教材中，大量的数学知识都被概括为假言命题的形式，即都可以写成“若p则q”或简写成“p→q”的形式，我们把这种假言命题中的两个命题p、q分别叫做前提(或题设)与结论(或题断)．如果把一个命题的前提与结论互换其位置叫做命题的换位，换位后的命题称为原命题的逆命题．
3 逆命题的构造方法
给出一个数学命题的逆命题其实是一件比较复杂的事情．以下我们分三种类型一一讨论．
3．1 简单命题的逆命题
如果一个数学命题是简单命题，这时，我们只要把组成该命题的简单判断中的主项和谓项互换位置就可以得到原命题的逆命题．例如：“南京是江苏的城市”和“a>b”的逆命题就分别是：“江苏的城市是南京”、“b>a”．
3．2 假言命题的逆命题
但是，数学命题通常是复合命题中的假言命题，给出其逆命题就要复杂的多了．一般地，一个假言判断的逻辑表达式是：“如果p那么q”或“p→q”，其中p、q都表示判断，称为肢判断，根据肢判断在假言判断中的功能，又把肢判断p(前提)叫做假言判断的前件，表示依赖条件而成立的肢判断q(结论)称为假言判断的后件．
一个假言命题的前件和后件如果都是简单命题，在一般情况下生成其逆命题也是相对容易的，即只要调换前件和后件的位置就可以得到原命题的逆命题．例如：原命题：“如果两直线平行，那么同位角相等”，其逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”．
ビ行┘傺耘卸系那凹或后件中包含不止一个条件和结论，那么，在给出逆命题时就存在着部分调换或全部调换题设与题断的问题，为了区分起见，我们把部分交换题设与题断所得的新命题，称为原命题的偏逆命题．一般情况下，在初等数学里，主要研究把命题的题设和题断全部交换所得到的逆命题．
一个数学命题可以用数学的形式语言表达，也可以用自然语言表达．用自然语言表达命题的过程中，常常省去了部分的量项、联项，甚至还有的省去了前提．根据逻辑语义学的观点，由于汉语语词的多义性和句法结构的多重性特点会导致语句语义的歧义．因此，虽然数学命题的内容是客观的，但一旦用语句表达出来以后，往往也会产生一定的歧义．这些也都会使学生由原命题得出逆命题时产生一定的困难. 但是，数学的形式语言(或逻辑语言)则是不会有歧义的，所以，我们在研究一些复合命题时，最好能用数学的形式语言(或逻辑语言)把它们表示出来，这样会更有助于我们对命题的研究．
现在我们对命题：“正方形的4个角是直角”进行详细的探讨．我们首先把上述命题用数学的形式语言表达出来就是这样一个复合命题：“如果∠A、∠B、∠C、∠D是四边形ABCD的内角，且四边形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．考虑到“四边形ABCD是正方形”已经蕴含了“∠A、∠B、∠C、∠D是四边形ABCD的内角”，因此，上述命题还可以更简洁地写成：“四边形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．不难看出，这是一个假言命题，其前件：“四边形ABCD是正方形”是简单命题，只有1个题设(前提)；其后件：“∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”是一个联言命题，有4个题断(结论)．一般地，如果一个假言命题有m个题设，n个题断，那么该命题就一共能形成∑mi=1∑nj=1C琲璵C琷璶个偏逆命题，因此，这个原命题共有∑4j=1C琷4=C14+C24+C34+C44=15个偏逆命题．限于篇幅，我们就仅列出把命题的题设和题断全部交换所得出的命题，即：“若∠A，∠B，∠C、∠D是四边形ABCD的内角，且∠A、∠B、∠C、∠D都是直角，那么四边形ABCD是正方形”，考虑到概念之间的蕴含关系，用自然语言也可以把它写成：“四边形的四个内角都是直角，那么这个四边形是正方形”或“四个内角是直角的四边形是正方形”．
学生认为“正方形的4个角是直角”的逆命题是：“直角是正方形的4个角”，主要原因是学生没有深刻理解原命题的前提、条件和结论，而且还错把它当作了简单命题所至．
4 对教学的启示
(1)正确理解命题及其逆命题的生成是学生顺利发展逻辑思维能力和推理能力的基础．教师要能正确引导学生理解逆命题的生成过程，这客观上就要求教师本身要有足够的知识储备，教师先要吃透教材，理解相关数学概念的内涵，切不可让学生望文生义，生搬硬套．
(2)考虑到这一章节内容在教学时间上的限制以及初中生的认知水平，教师不可能在课堂教学内容上像本文这样展开，笔者认为要取得较好的教学效果，可以从以下几方面入手：①中学数学中讨论的命题，一般都是假言命题，考虑到数学命题的陈述有些是自然语言，甚至是高度省略了的自然语言，而且再加上汉语语句可能产生的歧义以及这些假言命题的前提和结论之间往往还存在着一些蕴含关系，而这些都会影响学生能否正确的生成逆命题，因此，我们建议教师在教学时，要先把原命题用假言命题的形式表示出来，当然学生要是能借助数学的形式语言那就更好；②要仔细分析条件和结论中的前提以及它们当中出现的相关概念之间是否还存在蕴含关系，以免在互换时产生表达上的错误；③一定要向学生强调生成逆命题的关键要素是要把全部的条件和结论进行互换!关于这一点其实教材上说的是很清楚的，但教师和学生均容易忽视，导致学生写出偏逆命题或其它错误的结论来；④最后，还要要求学生把生成的逆命题用最简洁的语言表示出来，因为这样能有助于培养学生形成正确、简洁的数学表达能力，而这一能力正是逻辑思维能力的基础．
最近，听了一节公开课，课题是苏科版《数学》(八下)教材的§11．4“互逆命题”．上 课期间教师向学生提出了一组命题，要求学生说出这些命题的逆命题．这些命题中有一条就是本文标题提及的“正方形的4个角是直角”．稍作沉思后，有学生回答说：这个命题的逆命题是“直角是正方形的4个角”．由于学生的回答不是老师预期的，所以主讲老师走向黑板画了一个正方形，并用“已知”和“求证”的形式写下了上述命题，最后，就得出了“如果一个四边形的4个角都是直角，那么这个四边形是正方形”的正确结论(这也是教参上的标准答案)．事后，据笔者观察，相当一部分的学生还是一脸盲然，可谓说者云云，听者昏昏．学生是如此，那么听课的教师对这个问题又是怎样想的呢?我与部分教师交流后得知，确实有相当一部分教师也存在着不解，学生的答案错在哪里?课堂教学中教师应该怎样分析和生成一个命题的逆命题?教师们普遍觉得这部分内容难教难学，其实要解决这些问题我们还要从命题本身谈起!
目前，中学教材中一般都直接用“判断”来定义命题，所以，要研究命题及其逆命题就不能不研究“判断”．本文拟先从“判断”入手、然后再研究命题及其逆命题，以期最终能帮助教师彻底弄清上述问题．
1 判断及其分类
判断是对思维对象及其属性有所肯定或否定的思维形式．判断有两个基本逻辑特征：①对事物有所断定，即肯定或否定；②判断的真假．若判断所反映的和断定事物的情况符合实际就是真判断；否则就是假判断(本文暂不讨论判断和命题的真假)．判断作为一种思维形式，必然需要一定的物质载体，判断的内容通常可以用陈述句表达，例如：
(1)a．一切同边数的正多形都是相似的；
b．负数没有对数；
c．有些一元二次方程没有实数根．
等都是判断．ジ据不同的标准可把判断进行分类．首先，按判断本身是否还包含其它的判断而分为简单判断和复合判断．
简单判断是指判断本身不再包含其它判断的判断．如果一个简单判断所断定的是对象的性质，我们就把这样的简单判断叫做性质判断．例如：“一切三角形都有外接圆”、“正方形的边相等”等都属于性质判断(又称直言判断)；我们把判定事物与事物间关系的简单判断叫做关系判断．例如：“△ABC相似于△A′B′C′”、“直线a⊥直线b”，都属于关系判断．
简单判断由主项、谓项、量项、联项四部分组成．现将其逻辑结构分析如下：如(1)中“同边数的正多边形”、“负数”、“一元二次方程”分别是这四个判断的主项．谓项表示主项具有或者不具有的性质．如“相似的”、“对数”、“实数根”就分别是这三个判断的谓项．
量项表示主项的数量，反映判断的量的差别．根据量的多少，量项可分为全称量项和特称量项两类，表示对象全体的叫做全称量项，常用“所有”、“一切”、“任何”、“凡”、“每一个”等词表达，表示对象一部分的叫做特称量项，常用“有些”、“有的”等词表达．在数学中，为了表达简洁，简单判断的量项常常省略．如(1-b)省略了量项“所有”．
联项表示主项和谓项之间的关系，反映判断的质的差异．根据质的不同，联项可分为肯定联项和否定联项两类．通常用“是”或“有”表达肯定联项；用“不是”或“没有”表示否定联项．简单判断的联项有时也可省略．
在简单判断中，决定判断形式的主要是量项和联项．根据判断的量项是全称，还是特称，可以把判断分为全称判断和特称判断．根据判断的联项是肯定，还是否定，可以把判断分为肯定判断和否定判断. 这样，把判断的量和质结合起来研究，简单判断就有四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断．一般地，我们如果用英文字母s和p分别表示判断的主项和谓项，那么上述四种判断中的全称肯定判断和特称否定判断的逻辑表达式就分别是：“所有s是p”、“有的s不是p”．
复合判断是指判断本身还包含其它判断的判断，通常由两个或两个以上的简单判断通过逻辑联结词联结起来而组成，组成复合判断的简单判断称为复合判断的肢判断．复合判断按其肢判断的不同结合情况(指按不同的逻辑联结词所联结起来)而分为联言判断、选言判断、假言判断等.
联言判断是指同时断定了事物几种情况的判断．其联结词有“与”、“而且”、“一方面…，另一方面…”、“既…，又…”等，若用p、q表示判断，则联言判断的逻辑公式为：“p∧q”(符号“∧”读“合取”，表示联言判断的逻辑联结词)即“p而且q”．
选言判断是指断定事物若干可能情况的判断．例如：“这个四边形是平行四边形或者是菱形或者是正方形”．选言判断的逻辑表达式是：“p∨q(符号“∨”读“析取”，表示选言判断的逻辑词)．
假言判断是指有条件地判定某事物情况存在的判断．它是反映事物之间条件和结果关系的判断．其逻辑联结词通常是“如果…那么…”、“若…则…”，其逻辑公式是：“p→p”．
2 数学判断与数学命题
数学判断是对事物的空间形式及数量关系有所肯定或否定的思维形式．用来表示数学判断的语句或符号的组合称为数学命题．根据对判断的分类，数学命题对应的也有简单命题、复合命题之分；简单命题又有性质命题和关系命题之分；复合命题又有联言命题、选言命题和假言命题之分．关于数学命题的划分可见下面的图式：
ナ学命题简单命题性质命题；す叵得题.
じ春厦题联言命题；ぱ⊙悦题；ぜ傺悦题.
ナ学教材中，大量的数学知识都被概括为假言命题的形式，即都可以写成“若p则q”或简写成“p→q”的形式，我们把这种假言命题中的两个命题p、q分别叫做前提(或题设)与结论(或题断)．如果把一个命题的前提与结论互换其位置叫做命题的换位，换位后的命题称为原命题的逆命题．
3 逆命题的构造方法
给出一个数学命题的逆命题其实是一件比较复杂的事情．以下我们分三种类型一一讨论．
3．1 简单命题的逆命题
如果一个数学命题是简单命题，这时，我们只要把组成该命题的简单判断中的主项和谓项互换位置就可以得到原命题的逆命题．例如：“南京是江苏的城市”和“a>b”的逆命题就分别是：“江苏的城市是南京”、“b>a”．
3．2 假言命题的逆命题
但是，数学命题通常是复合命题中的假言命题，给出其逆命题就要复杂的多了．一般地，一个假言判断的逻辑表达式是：“如果p那么q”或“p→q”，其中p、q都表示判断，称为肢判断，根据肢判断在假言判断中的功能，又把肢判断p(前提)叫做假言判断的前件，表示依赖条件而成立的肢判断q(结论)称为假言判断的后件．
一个假言命题的前件和后件如果都是简单命题，在一般情况下生成其逆命题也是相对容易的，即只要调换前件和后件的位置就可以得到原命题的逆命题．例如：原命题：“如果两直线平行，那么同位角相等”，其逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”．
ビ行┘傺耘卸系那凹或后件中包含不止一个条件和结论，那么，在给出逆命题时就存在着部分调换或全部调换题设与题断的问题，为了区分起见，我们把部分交换题设与题断所得的新命题，称为原命题的偏逆命题．一般情况下，在初等数学里，主要研究把命题的题设和题断全部交换所得到的逆命题．
一个数学命题可以用数学的形式语言表达，也可以用自然语言表达．用自然语言表达命题的过程中，常常省去了部分的量项、联项，甚至还有的省去了前提．根据逻辑语义学的观点，由于汉语语词的多义性和句法结构的多重性特点会导致语句语义的歧义．因此，虽然数学命题的内容是客观的，但一旦用语句表达出来以后，往往也会产生一定的歧义．这些也都会使学生由原命题得出逆命题时产生一定的困难. 但是，数学的形式语言(或逻辑语言)则是不会有歧义的，所以，我们在研究一些复合命题时，最好能用数学的形式语言(或逻辑语言)把它们表示出来，这样会更有助于我们对命题的研究．
现在我们对命题：“正方形的4个角是直角”进行详细的探讨．我们首先把上述命题用数学的形式语言表达出来就是这样一个复合命题：“如果∠A、∠B、∠C、∠D是四边形ABCD的内角，且四边形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．考虑到“四边形ABCD是正方形”已经蕴含了“∠A、∠B、∠C、∠D是四边形ABCD的内角”，因此，上述命题还可以更简洁地写成：“四边形ABCD是正方形，那么∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”．不难看出，这是一个假言命题，其前件：“四边形ABCD是正方形”是简单命题，只有1个题设(前提)；其后件：“∠A是直角且∠B是直角且∠C是直角且∠D是直角”是一个联言命题，有4个题断(结论)．一般地，如果一个假言命题有m个题设，n个题断，那么该命题就一共能形成∑mi=1∑nj=1C琲璵C琷璶个偏逆命题，因此，这个原命题共有∑4j=1C琷4=C14+C24+C34+C44=15个偏逆命题．限于篇幅，我们就仅列出把命题的题设和题断全部交换所得出的命题，即：“若∠A，∠B，∠C、∠D是四边形ABCD的内角，且∠A、∠B、∠C、∠D都是直角，那么四边形ABCD是正方形”，考虑到概念之间的蕴含关系，用自然语言也可以把它写成：“四边形的四个内角都是直角，那么这个四边形是正方形”或“四个内角是直角的四边形是正方形”．
学生认为“正方形的4个角是直角”的逆命题是：“直角是正方形的4个角”，主要原因是学生没有深刻理解原命题的前提、条件和结论，而且还错把它当作了简单命题所至．
4 对教学的启示
(1)正确理解命题及其逆命题的生成是学生顺利发展逻辑思维能力和推理能力的基础．教师要能正确引导学生理解逆命题的生成过程，这客观上就要求教师本身要有足够的知识储备，教师先要吃透教材，理解相关数学概念的内涵，切不可让学生望文生义，生搬硬套．
(2)考虑到这一章节内容在教学时间上的限制以及初中生的认知水平，教师不可能在课堂教学内容上像本文这样展开，笔者认为要取得较好的教学效果，可以从以下几方面入手：①中学数学中讨论的命题，一般都是假言命题，考虑到数学命题的陈述有些是自然语言，甚至是高度省略了的自然语言，而且再加上汉语语句可能产生的歧义以及这些假言命题的前提和结论之间往往还存在着一些蕴含关系，而这些都会影响学生能否正确的生成逆命题，因此，我们建议教师在教学时，要先把原命题用假言命题的形式表示出来，当然学生要是能借助数学的形式语言那就更好；②要仔细分析条件和结论中的前提以及它们当中出现的相关概念之间是否还存在蕴含关系，以免在互换时产生表达上的错误；③一定要向学生强调生成逆命题的关键要素是要把全部的条件和结论进行互换!关于这一点其实教材上说的是很清楚的，但教师和学生均容易忽视，导致学生写出偏逆命题或其它错误的结论来；④最后，还要要求学生把生成的逆命题用最简洁的语言表示出来，因为这样能有助于培养学生形成正确、简洁的数学表达能力，而这一能力正是逻辑思维能力的基础．
