变式探究助力高三复习增效

蔡爱钦


随着信息技术的发展,网络上有关高考试题的信息也越来越丰富.如何在有限的时间内更有效地开展复习工作,提高复习课的效率,应付更加复杂多变的命题方向呢?笔者认为只有让学生更加扎实地掌握基本技能和基础方法,提升数学思维的素养,才能应对复杂多变的高考试题.从讲题到探题,力图通过自身课堂教学方式的改变,提高课堂教学效率,提高学生分析问题和解决问题的能力.
平面向量是数学的重要概念和工具,利用它可有效解决很多问题.向量具有几何和代数双重性,与几何和代数关系密切.平面向量作为数学知识网络的一个交汇点,它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现,是连接众多知识的桥梁,向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法,使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用.因此,本文通过一道向量高考题的探究和延伸,揭示向量方法的内在本质,提高学生对向量知识的认识.
分析本题考查了平面向量的基本定理及其意义,考查了向量的模、數量积,考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域,体现了数形结合、分类讨论、化归转化等思想.由两定点A,B满足OA|=OB|=OA·OB=2,学生容易得到△OAB为等边三角形.整题中较难分析的是点集{P|→OP=λ→OA+μ→OB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ
R)该怎样转化.
向量的解法从大方向讲有两种,即代数法和几何法,因此此题可以尝试从这两方向来解题.
法1(代数法)通过建立直角坐标系得到O,A,B点的坐标,再根据坐标运算求出点P的横坐标x和纵坐标y,联立方程组解出λ和μ,再去绝对值得到4个二元一次不等式组,画出平面区域求面积.
法2(代数法)方法l 容易想到,但去绝对值得到4个二元一次不等式组画出平面区域会浪费很多时间,因此可以建完系后求OP·OA=4λ+2μ,→OP·→OB=2λ+4μ,两式相加、相减求出λ+μ和λ-μ,再根据λ+μ和λ-μ的有界性得到x,y的范围,即可求出面积.
法3(几何法)首先考虑λ>0,μ>0的情况.因为λ+μ≤l,结合基本定理几何意义,可知点P的轨迹是三角形AOB及其内部,再讨论其他情况,即可画出点P的轨迹为一矩形,矩形面积就是点集所表示的区域的面积.
法4(特殊值法) 这是一道选择题,当一道题解不出来时,可以考虑利用选择题的解题技巧,即临界值法,先考虑|λ|+|μ|=l的情况.学生对λ+μ=l很熟悉,知道此时点P在线段AB上,再通过对称性很容易画出点P的边界图形,从而可以算出该区域所表示的面积.
这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法,给我们解向量题提供了思路和方向.数学学习本身也是一个探究的过程,所以,如果我们对条件进行改变,又能得到一些什么结论呢?
平面向量已经渗透到中学数学的许多方面,向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种方法,学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科.向量在高考中灵活多变,题型新颖,但只要在平时的学习中,多去探究,多去挖掘,掌握处理问题的常用方法,抓住问题的本质,定能在处理向量问题时做到事半功倍.
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