关于数学实验的理性思考与实践

    林松

    [摘? 要] 由数学史学回顾，追问数学实验的内涵;数学实验关键在于联结“经验”和“思维”，实现建立在经验直观之上的抽象;打通工具和人脑的关系，实现工具和人脑的对话，从而实现数学实验的核心价值追求.

    [关键词] 数学实验;内涵;经验;思维;价值追求

    问题提出

    数学实验作为一种重要的数学学习方式，已被不少一线教师应用于课堂教学. 但一直以来，大家对数学实验的教学作用都有着不同的观念. 一种观念认为，通过数学实验的教学，让问题在数学课堂上直觀显示，可以强化多感官刺激，激发学生学习兴趣，促进有效学习;另一种观念认为，数学是系统、严谨的演绎科学，“数学在本质上研究的是抽象的东西”[1]，可视化的数学实验是对形象思维的强化，对抽象思维的培养难以起到积极作用，不利于学生数学的学习. 两种观念孰是孰非，事关对数学实验作用的正确认识，事关数学实验教学的前途和命运，值得深思和辨析.

    回归逻辑起点，追问数学实验

    的内涵

    1. 数学实验的史学追问

    数学起源于人类早期的生产实践（劳动），古巴比伦人在生产实践（劳动）中就逐步掌握了一定的数学知识，并能应用于生活实际. 但从数学角度来看，他们的数学知识仅是基于观察的经验，没有形成理论体系并证明. 到公元前500年前后，以古巴比伦、古埃及和中国为代表的一些地区发展起了具有初步理论体系的数学，研究的内容主要是和生活紧密相关的计数、初等算术与算法等. 大约在公元前500年到公元300年之间，古希腊几何学的研究达到了辉煌时期，出现了严密的推理与形式的证明，形成了希腊数学的理论化和公理化的倾向. 到了17世纪，微积分和解析几何的发展引发了数学和科学的革命. 数学家据此研究行星的运行、液体的流动、气体的扩散、电力和磁力等自然现象. 数学研究内容涉及数量、形状、运动、变化以及空间，这个时候，数学的公理体系和系统推演的思想似乎不是那么重要了. 到了19世纪，由于数学本身需要巩固已有成果，就重新回头审查新的数学基础，特别是微积分及其赖以建立的极限概念，因此古希腊形式证明的传统卷土重来掌握了优势，数学又成功返回以准确而又严谨的证明为其学科特征. 于是，钟摆又一次向纯粹性和抽象性的一侧摆去[2]. 直至当下，基础数学仍然偏向于纯粹性和抽象性的研究，但是人们可以期望，在纯粹数学和具有活力的应用之间产生了这种不幸分离之后，随之而来的应是一个紧密结合的时代[3].

    纵观数学史，我们可以发现“生产实践”一直伴随着数学的发展. 抽象的数学来至生产实践（劳动），抽象的数学是通过观察、归纳、推理而来的. 抽象的数学也是为社会生产（劳动）服务的，可以在数学和应用之间建立有机的结合，在抽象的共性和具体的个性之间建立平衡. 数学课堂的“数学实验”和人类的“生产实践”虽不完全相同，但也有相似之处. 通过对数学史的回顾和对“数学实验”这种学习过程的分析，我们发现“数学实验”和“生产实践”都离不开对具体现象的观察与思考. 数学实验的直观性、操作性、探究性、趣味性的特点可以让学生在学习过程中更加形象直观地理解数学知识，探索数学规律，验证数学结果.

    2. 数学实验的内涵

    （1）数学实验是“数学的实验”

    数学实验是为了帮助学生建构某个数学理论，检验某个数学猜想，或解决某个数学问题，学生在思维的参与下，通过对实物或者数学软件等操作而进行的学习活动. 数学实验是“数学的实验”，是在数学思维参与下的数学学习活动. 因而，它必然具有数学的抽象性、精准性和应用的广泛性等基本特点. 同样作为科学实验，但它和理化生实验有一定区别. 理化生实验通过应用实验仪器和设备，对研究对象进行干预和控制，重在科学规律的实践探索. 数学实验借助实物和数学软件的操作，去理解、解释或建构数学. 数学实验的结果既可控也不可控，比如折纸的结果是可控的，但利用计算机进行数学建模的结果却可能是多种多样的，因而数学实验重在对数学本质的探究和验证.

    数学的实验过程离不开数学思维的参与. 在数学实验教学中，一般会经历“观察→测量（实验行为）→猜想→验证→抽象”这几个步骤. 学生首先要用数学的眼光对实验对象进行观察，再进行数学实验行为，接着要辨析实验对象前后的本质变化，从数学的视角去发现问题，提出实验对象变化可能的猜想，这一过程以学生的数学想象为支撑. 然后还要进行实验的验证和探究. 最后，通过提取关键数学信息，抽象出实验对象在数量或图形方面的数学本质.

    （2）数学实验是“实验的数学”

    数学实验是“实验的数学”，是数学的实证研究，是具体化、形象化的数学. 它是研究数学和学习数学的重要方式，它可以促进学生深度理解数学知识，深刻感悟数学思想，丰富积累数学活动经验. 它的价值功能在于化繁为简、化难为易、化虚为实. 数学实验是数学教学不可缺少的组成部分，它可以让抽象能力偏弱的学生更容易理解掌握相关概念和规则，从而让教学更顺利地进行. 但我们决不能为实验而实验，把实验当作是目的，实验仅是研究问题的一种手段. “实验的数学”是为了更好地进行数学的思考.

    例如，要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要用刀切多少次？我们可以用橡皮和刀进行实验尝试，容易得到“要切3刀”的结论. 但如果将问题改编成“要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切多少次？”我们的实验就难以继续操作了，数学地思考问题就显得尤为重要. 我们在第一个问题的实验中发现8个小正方体都只有3个面是现成的，其他3个面必须用刀切3次才能切出来，所以第一个问题答案是3次. 如果把一个正方体分割成27个小正方体，因为最中间的一个小正方体的6个面都不是现成的，所以至少要切割6刀. 也可以这样思考：因为27=3×3×3 ，2刀可切3段，从正面、上面、侧面三个方向每面切2刀可得27个小正方体，所以至少需要用刀切6次.

    在上述的问题解决过程中，实验行为是需要的，它增加了学生的感性认识，加深了对数学原理、数学规律的认识. 数学思考也是必需的，数学思考可以将具体化的实验结果进行抽象地归纳，直至上升到形式化的理论层面. 这充分说明一个事实：数学实验是数学知识在人脑中建构的“数学化”过程.

    准确把握内涵，正确认识使用

    好数学实验

    1. 联结“经验”和“思维”，实现数学实验的价值追求

    在文首“问题提出”中，两种观念都肯定了数学实验的直观作用. 观点一强调了因直观产生的正面效果——激发兴趣，促进学习;观点二强调了因直观产生的负面效果——不利于抽象思维培养和数学学习. 这两种观念都认为数学实验作为一种直观的学习方式，缺乏一般观念的思维引领，学生可能会“做得到但想不到”，数学的发现缺少发生的“必然性”;认为学生在实验过程中虽然可以汇聚直观的感性经验，但难以将不连续的经验提升到理性层次，更难以实现抽象化、形式化的理论体系的构建. 两种观念其实都是片面的，它们都忽略了数学实验中思维的存在.

    产生上述认识的原因就在于把数学实验中的“经验”和“思维”割裂开了，简单地认为“经验”就是直观感受，没有“思维”的参与，认为“思维”就是建立在封闭系统里的逻辑推理. 其实，数学实验不仅是实验验证的科学，还是思维训练的科学. 数学教学的独特育人功能就在于培养学生的思维，数学实验作为促进学生认知发展的有效途径，它在学生的思维培养中起到了重要的作用. 数学实验通过学生动手操作、动脑思考，在“做数学”中获取经验. 这里的经验不仅仅是指感官知觉的刺激，还包括经过思考后的归纳总结. 所以，数学实验是有思维参与的. 同样，“思维”是需要“经验”基础的，空中楼阁式的“思维”是不存在的. 实际教学中我们更应该增加感官的认识，丰富经验的积累. 只有头脑中积累的经验素材越多，思维想象才会越丰富. D.希尔伯特说：“数学的源泉就在于思维与经验的反复出现的相互作用. ”[4]数学的知识是对事物本质抽象的结果，数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立则依赖于推理. 因此，数学实验教学的关键在于联结“经验”和“思维”，实现建立在经验直观之上的抽象. 数学实验功能在于打通工具和人脑的关系，实现工具和人脑的对话，从而实现数学实验的核心价值追求.

    2. 立足数学学科本质，开展基于思维的数学实验教学

    数学的学科本质是对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟，对数学美的鉴赏，对数学精神（理性精神与探究精神）的追求. 数学实验是一柄双刃剑，运用的好与坏直接决定数学教育的功效. 文首“问题提出”中所反映的情况其实是我们当前数学实验教学的常见的表现形式. 课堂教学为了追寻学生学习的直观性、兴趣性，设置安排的实验价值不高，且实验目的就是为了减低学习的难度，降低思维的层次，让学生易于接受. 这种做法仅让学生的学习局限在“知其然”层次，而不是积极地去培养学生数学思维能力，让学生达到“知其所以然”层次，是不值得提倡的. 可以这么说，这种教学对抽象能力偏弱的学生的前期学习有一定正面作用，但对进一步的深度学习却有负面作用，而对数学能力较强的学生从前到后都无积极作用. 因此，数学实验教学应立足数学学科本质，多开展基于思维的数学实验教学.

    当然，随着教学的不断深入，教者应逐渐减少实物实验的使用量，使学生摆脱对直观实物的依赖，加强思维能力的培养. 中科院林夏水先生有一个观点，他认为数学实验还应该包括思想实验. 思想实验是指一种在人的头脑中进行的理性思维活动，这种思维活动按照实验的格式展开，所以也稱为“实验”. 比如，小学阶段正常开展的珠心算教学就是基于思维的思想实验. 珠心算将算盘的盘式、档次及算珠的浮动变化描绘到脑子里，在头脑中形成“虚盘”;然后通过知觉、形象、记忆等过程，在大脑里来完成珠算运算. 在珠心算教学过程中，珠算是基础，通过实珠（算盘）的操作，学习者熟悉了四则计算的变化及方法. 随着技巧的熟练，学习者脑中的影像逐渐建立，透过影像的仿真操作（虚盘）即产生心算的功能. 计算过程中，算珠图像由静珠瞬间化成许多动珠运转，最终在极短的时间内完成计算任务. 又比如在《庄子·天下篇》中，就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这样思想实验的例子，来论证物质的无限可分. 当然，我们不是追求让所有学生去做“思想实验”，我们所追求的方向是在数学实验中实现思维的教育. 所以，我们如果把数学实验作为传统数学学习的一种有效补充方式，立足于数学学科的本质，关注学生隐藏在大脑中的思维能力，这样的数学实验才是有益的，值得推崇的. 否则，数学实验是没有价值的.

    参考文献：

    [1]史宁中. 数学的抽象[J]. 东北师大学报（哲学社会科学版），2008（05）.

    [2][3][美]R·科朗，[美]H·罗宾. 什么是数学：对思想和方法的基本研究（中文版第四版）[M]. 左平，张饴慈，译. 上海：复旦大学出版社，2017.

    [4]顾泠沅. 数学思想方法[M]. 北京：中央广播电视大学出版社，2004.