多普勒效应定量公式的推导及其应用
胡元康
摘 要：本文采用简单方法，从现象到本质，从特殊到一般，对多普勒效应进行了系统分析，逐步推导出多普勒效应定量公式；为了易于理解，通过举例说明其应用。
关键词：多普勒效应；相对运动；波源频率；接收频率
引言
多普勒效应是一个常见的物理现象，它就是波在传播的过程中，波源与接收者之间存在相对运动时，接收者会感到波的频率会变高或变低。例如，火车鸣笛进站时，站台上的人听到汽笛声音调变高，即频率变高；火车鸣笛而去，听到汽笛声音调变低，即频率变小。
多普勒效应中，包含三个对象：即发出波的波源、波和接收者；有三个物理量：即速度、频率和波长。为了分析方便，假设波源、接收者和波传播的方向在同一直线上，选取静止的介质为参照系。在这个参照系中，设波源运动速度为u，波源发出波的频率为f0，波长为λ0，波在介质中传播的速度为V；接收者运动的速度为υ，接收者接收频率为f'，波长为λ'。在多普勒效应中，存在三种相对运动：波源静止（u=0），接收者运动；接收者静止（υ=0），波源运动；波源与接收者同时运动。下面分别进行讨论。
1 公式推导分析
1.1 波源静止（u=0），接收者运动
这种情况，存在两种运动，即接收者靠近波源和远离波源。
（1）接收者靠近波源
此时，波以速度V在运动，在单位时间内，波源发出了 f0个波走的距离为V，接收者在单位时间内向波源运动了υ的距离。也就是波相对于接收者走过了V+υ的距离，即单位时间内，越过接收者波的个数为：
■=■f0 （1）
即接收者接收频率为：
f'=■f0 （2）
（2）接收者远离波源
此时，单位时间内，波相对于接收者走过了V-υ的距离，可得接收者接收频率为：
f'=■f0 （3）
综合（2）、（3）式为：
f'=■f0 （4）
波源静止（u=0），接收者运动，实质是波相对于接收者的速度发生了改变，导致接收者接收波的频率发生变化。当接收者靠近波源运动时，分子上取“+”，频率变大；远离波源时，分子上取“-”，频率变小。
1.2 接收者静止（υ=0），波源运动
这种情况，也存在两种运动：波源靠近接收者和远离接收者。
（1）波源靠近接收者
此时，要注意波源在运动，波也在运动，波源和波同时靠近接收者。在单位时间内，波源发出波个数为f0，在Δt时间内，波源发出波个数为Δtf0，波源移动距离为Δtu，波通过距离为ΔtV。波源发出Δtf0个波均匀地分布在ΔtV-Δtu（假设波传播速度大于波源移动速度）这段距离之内，则此时的波长为：
λ'=■=■ （5）
接收者接收频率为：
f'=■=■f0 （6）
（2）波源远离接收者
同理，当波源远离接收者，在Δt时间内，波源发出Δtf0个波均匀地分布在ΔtV+Δtu这段距离之内，此时波长为：
λ'=■=■ （7）
接收者接收频率为：
f'=■=■f0 （8）
综合（6）、（8）式为：
f'=■f0 （9）
接收者静止（υ=0），波源运动，实质是波的波长发生了变化，导致接收者接收频率发生了变化。波源靠近接收者时，分母上取“-”，频率增加；波源远离接收者时，分母上取“+”，频率变小。
1.3 波源与接收者同时运动
（1）相向运动
当波源与接收者同时运动时，实质上，波相对于接收者的速度、波的波长都发生了变化。此时，首先分析接收者以υ的速度靠近波源运动时，波以速度V+υ通过接收者。根据（1）式，可知接收者接收频率为：
f'=■ （10）
同时，波源又靠近接收者，根据（5）式，可知波长为：
λ'=■ （11）
综合（10）、（11）式可得：
f'=■=■f0 （12）
由（12）式可知，波源与接收者相向运动时，互相靠近，接收者接收频率变大。
（2）反向运动
同理，当波源与接收者反向运动时，由于接收者离开波源，波以速度通过接收者，根据（3）式，可知接收者接收频率为：
f'=■ （13）
同时，波源又远离接收者，根据（5）式，可知波长为：
λ'=■ （14）
综合（10）、（11）式可得：
f'=■=■f0 （15）
由（15）式可知，波源与接收者反向运动时，互相远离，接收者接收频率变小。
综合以上分析，可以将（12）、（15）式合并，用来表示波源、波和接收者三者之间速度、频率的关系，得到多普勒效应的一般定量公式：
f'=■f0 （16）
其中，取正负符号的规则是：接收者靠近波源，分子上取“+”，远离波源，分子上取“-”；波源靠近接收者，分母上取 “-”，远离波源，分母上取“+”。
（3）追及运动
波源与接收者之间的追及运动，是多普勒效应中的特殊情况，遇到这类问题时，主要是把握住接收者和波源之间是靠近还是远离的情况，根据（16）式正负符号的规则，具体情况具体分析。
2 应用举例
下面通过举例来说明多普勒效应一般公式的应用。
例1：一列火车以40m/s的速度行驶，火车上汽笛的频率为600Hz，如果接收者以5m/s的速度向火车驶来的方向奔跑，他听到的汽笛的频率为多少。（设声速为340m/s）。
解：这是一个接收者与波源同时相向运动，根据（12）式，可以得到：
f'=■f0=■×600=690（Hz）
例2：蝙蝠以5m/s的速度扑向夜蛾，发出60kHz的信号，夜蛾收到信号后，以3m/s的速度逃离，问逃离时夜蛾接收频率是多少。（设声速为340m/s）。
解：这是一个接收者与波源之间追及运动的问题，蝙蝠是波源，夜蛾是接收者，夜蛾对蝙蝠来说，是远离，因此，（16）式中分子上取“-”。蝙蝠相对于夜蛾来说，是靠近，因此，（16）式中分母上取“-”。于是，夜蛾获得的信号频率为：
f'=■f0=■×60=60.35（Hz）
3 结论
通过上述分析推導，学生会对多普勒效应有更深地理解，只要把握住多普勒效应中包含的三个对象（波源、波和接收者）和三个物理量（速度、频率和波长），理解其相对运动中实质性的变化，波源静止，接收者运动，实质是波相对于接收者的速度发生了改变；接收者静止，波源运动，实质是波的波长发生了变化；同时，掌握多普勒效应一般公式中分子分母正负符号的准则，许多多普勒效应的问题都可以迎难而解。
参考文献：
[1]朱贤贤.多普勒效应的频率变化关系[J].中学物理高中版，2010（11）：29-30.
[2]李卫平，李浩，马巧丽.如何让学生全面、准确理解多普勒效应[J].中学物理高中版，2013（10）：27-28.
[3]王锴.多普勒效应的频率的三个定量公式及其解释[J].湖南中学物理，2013（6）：55-56.
[4]黄海铭，杨俊涛.基于运动学基础知识的多普勒效应公式推导[J].物理通报，2015（6）：16-17.
[5]印晓明，陈坤.激波与驻波—两个奇妙的声学现象探幽[J].中学物理高中版，2012（1）：80-81.
摘 要：本文采用简单方法，从现象到本质，从特殊到一般，对多普勒效应进行了系统分析，逐步推导出多普勒效应定量公式；为了易于理解，通过举例说明其应用。
关键词：多普勒效应；相对运动；波源频率；接收频率
引言
多普勒效应是一个常见的物理现象，它就是波在传播的过程中，波源与接收者之间存在相对运动时，接收者会感到波的频率会变高或变低。例如，火车鸣笛进站时，站台上的人听到汽笛声音调变高，即频率变高；火车鸣笛而去，听到汽笛声音调变低，即频率变小。
多普勒效应中，包含三个对象：即发出波的波源、波和接收者；有三个物理量：即速度、频率和波长。为了分析方便，假设波源、接收者和波传播的方向在同一直线上，选取静止的介质为参照系。在这个参照系中，设波源运动速度为u，波源发出波的频率为f0，波长为λ0，波在介质中传播的速度为V；接收者运动的速度为υ，接收者接收频率为f'，波长为λ'。在多普勒效应中，存在三种相对运动：波源静止（u=0），接收者运动；接收者静止（υ=0），波源运动；波源与接收者同时运动。下面分别进行讨论。
1 公式推导分析
1.1 波源静止（u=0），接收者运动
这种情况，存在两种运动，即接收者靠近波源和远离波源。
（1）接收者靠近波源
此时，波以速度V在运动，在单位时间内，波源发出了 f0个波走的距离为V，接收者在单位时间内向波源运动了υ的距离。也就是波相对于接收者走过了V+υ的距离，即单位时间内，越过接收者波的个数为：
■=■f0 （1）
即接收者接收频率为：
f'=■f0 （2）
（2）接收者远离波源
此时，单位时间内，波相对于接收者走过了V-υ的距离，可得接收者接收频率为：
f'=■f0 （3）
综合（2）、（3）式为：
f'=■f0 （4）
波源静止（u=0），接收者运动，实质是波相对于接收者的速度发生了改变，导致接收者接收波的频率发生变化。当接收者靠近波源运动时，分子上取“+”，频率变大；远离波源时，分子上取“-”，频率变小。
1.2 接收者静止（υ=0），波源运动
这种情况，也存在两种运动：波源靠近接收者和远离接收者。
（1）波源靠近接收者
此时，要注意波源在运动，波也在运动，波源和波同时靠近接收者。在单位时间内，波源发出波个数为f0，在Δt时间内，波源发出波个数为Δtf0，波源移动距离为Δtu，波通过距离为ΔtV。波源发出Δtf0个波均匀地分布在ΔtV-Δtu（假设波传播速度大于波源移动速度）这段距离之内，则此时的波长为：
λ'=■=■ （5）
接收者接收频率为：
f'=■=■f0 （6）
（2）波源远离接收者
同理，当波源远离接收者，在Δt时间内，波源发出Δtf0个波均匀地分布在ΔtV+Δtu这段距离之内，此时波长为：
λ'=■=■ （7）
接收者接收频率为：
f'=■=■f0 （8）
综合（6）、（8）式为：
f'=■f0 （9）
接收者静止（υ=0），波源运动，实质是波的波长发生了变化，导致接收者接收频率发生了变化。波源靠近接收者时，分母上取“-”，频率增加；波源远离接收者时，分母上取“+”，频率变小。
1.3 波源与接收者同时运动
（1）相向运动
当波源与接收者同时运动时，实质上，波相对于接收者的速度、波的波长都发生了变化。此时，首先分析接收者以υ的速度靠近波源运动时，波以速度V+υ通过接收者。根据（1）式，可知接收者接收频率为：
f'=■ （10）
同时，波源又靠近接收者，根据（5）式，可知波长为：
λ'=■ （11）
综合（10）、（11）式可得：
f'=■=■f0 （12）
由（12）式可知，波源与接收者相向运动时，互相靠近，接收者接收频率变大。
（2）反向运动
同理，当波源与接收者反向运动时，由于接收者离开波源，波以速度通过接收者，根据（3）式，可知接收者接收频率为：
f'=■ （13）
同时，波源又远离接收者，根据（5）式，可知波长为：
λ'=■ （14）
综合（10）、（11）式可得：
f'=■=■f0 （15）
由（15）式可知，波源与接收者反向运动时，互相远离，接收者接收频率变小。
综合以上分析，可以将（12）、（15）式合并，用来表示波源、波和接收者三者之间速度、频率的关系，得到多普勒效应的一般定量公式：
f'=■f0 （16）
其中，取正负符号的规则是：接收者靠近波源，分子上取“+”，远离波源，分子上取“-”；波源靠近接收者，分母上取 “-”，远离波源，分母上取“+”。
（3）追及运动
波源与接收者之间的追及运动，是多普勒效应中的特殊情况，遇到这类问题时，主要是把握住接收者和波源之间是靠近还是远离的情况，根据（16）式正负符号的规则，具体情况具体分析。
2 应用举例
下面通过举例来说明多普勒效应一般公式的应用。
例1：一列火车以40m/s的速度行驶，火车上汽笛的频率为600Hz，如果接收者以5m/s的速度向火车驶来的方向奔跑，他听到的汽笛的频率为多少。（设声速为340m/s）。
解：这是一个接收者与波源同时相向运动，根据（12）式，可以得到：
f'=■f0=■×600=690（Hz）
例2：蝙蝠以5m/s的速度扑向夜蛾，发出60kHz的信号，夜蛾收到信号后，以3m/s的速度逃离，问逃离时夜蛾接收频率是多少。（设声速为340m/s）。
解：这是一个接收者与波源之间追及运动的问题，蝙蝠是波源，夜蛾是接收者，夜蛾对蝙蝠来说，是远离，因此，（16）式中分子上取“-”。蝙蝠相对于夜蛾来说，是靠近，因此，（16）式中分母上取“-”。于是，夜蛾获得的信号频率为：
f'=■f0=■×60=60.35（Hz）
3 结论
通过上述分析推導，学生会对多普勒效应有更深地理解，只要把握住多普勒效应中包含的三个对象（波源、波和接收者）和三个物理量（速度、频率和波长），理解其相对运动中实质性的变化，波源静止，接收者运动，实质是波相对于接收者的速度发生了改变；接收者静止，波源运动，实质是波的波长发生了变化；同时，掌握多普勒效应一般公式中分子分母正负符号的准则，许多多普勒效应的问题都可以迎难而解。
参考文献：
[1]朱贤贤.多普勒效应的频率变化关系[J].中学物理高中版，2010（11）：29-30.
[2]李卫平，李浩，马巧丽.如何让学生全面、准确理解多普勒效应[J].中学物理高中版，2013（10）：27-28.
[3]王锴.多普勒效应的频率的三个定量公式及其解释[J].湖南中学物理，2013（6）：55-56.
[4]黄海铭，杨俊涛.基于运动学基础知识的多普勒效应公式推导[J].物理通报，2015（6）：16-17.
[5]印晓明，陈坤.激波与驻波—两个奇妙的声学现象探幽[J].中学物理高中版，2012（1）：80-81.
