基于推理的“牛顿第二定律”教学思考
高嵩 田宇 邵梦媛
摘? ?要：文章从物理课程标准倡导的提升学科素养的要求出发，分析了牛顿第二定律在教学实践中存在与课标要求不一致的地方，认为2019年的新版教科书给了我们更好的教学启示，但是当下关注的人并不多。文章从历史和现实两个角度，分析了牛顿第二定律的推理过程，借助数字化的实验技术，提出了更加合理的教学思路。
关键词：牛顿第二定律;数字化实验;图像;物理教学
中图分类号：G633.7 文献标识码：A ? ? 文章编号：1003-6148（2021）3-0075-6
教育部颁布的《普通高中物理课程标准（2017年版）》中要求我们的教学要提升学生的学科核心素养，并进一步将学科核心素养细化为物理观念、科学思维、科学探究和科学态度与责任[1]。在见到新课标伊始，许多人认为对于课程目标界定得过于宽泛，甚至于空洞，因为这次课程标准没有像上一次课标那样明确地给出知识和能力目标。但通过仔细研读新课标，发现在新的历史时期，不是不关注物理的知识和能力，而是要求我们应该站在更高的位置去审视我们的教学，在教的过程中，不是让学生获得知识的碎片，而是形成正确的物理观念。
在以往的教学中，有不少重知识点的复述、不重视物理观念形成的问题，比如力学最重要的理论——牛顿第二定律的常见的教学方式，就可能与课程标准的要求有不一致之处，可能给学生理解原理带来困惑。本文将对其中的问题进行细致的分析，并给出合理的教学思路，希望我们的工作能给教师的教学带来启发。
1? ? 牛顿第二定律的常见教学思路
一般对于牛顿第二定律这部分内容的教学，先是通过探究实验分析加速度与力、质量的关系，接着借助实验结论引出牛顿第二定律内容及其表达式，用公式定量表示加速度与力、质量的关系。
教学中常用的探究方案大同小异，如图1所示，需要测定物体（小车）的质量，物体的加速度，物体所受的力（小车的质量远大于下面挂的钩码或其他小重物的重力）。采用控制变量法进行两组实验，分别是：①在控制小车质量不变的情况下，改变小车所受的拉力，分析小车加速度与其所受拉力之间的关系;②在控制小车所受拉力不变的情况下，改变小车质量，分析小车加速度与其质量之间的关系。将这两组实验所得的数据记录下来，并接着绘出相应的a-F、a-m图像（如图2所示），其中a-F图像是过原点的直线，a-m图像则是曲线，由此定性得出物体加速度a与它所受的作用力F成正比，与它的质量m成反比的实验结论。并最终得到F=ma这一常见的牛顿第二定律的表达式。
2? ? 上述教学过程的问题分析
上面的教学过程看起来好像非常严密，但是细致推敲起来我们认为存在这样三个问题：
首先，是实验的推导与物理原理间的矛盾。上面讲的第一组实验，“保持物体的质量不变”，这句话容易引起误解，因为通过牛顿第一定律可以知道：惯性是物体的固有属性，质量是惯性的唯一量度。这也就说明在牛顿力学体系中，当研究对象确定的时候，物体的质量便不能是一个变量。即使真的出现了变质量的问题，如火箭发射、爆炸等问题，我们在列方程求解的时候，也是把由于质量改变而导致物体运动状态变化的那一项与所受的外力写在一起，表示作为剩余部分受到的合力，而此时被研究的质量便仍旧是一个确定的、不可改变的物理量[2]。具体推导可以参考任何一本大学物理教科书，在此不做赘述。所以，物体的质量本来就不是一个变量，不需要“保持”。
由此，也引出本教学过程的第二个问题，就是利用图像进行的推理。从数学的角度来分析a-F、a-m这两个图像是没有问题的，但我们知道，数学的表达必须符合物理学的规定。图2乙告诉我们加速度随物体质量的变化规律，在此，质量是一个变量，而且可以连续变化。但是，如前所言：质量是物体的固有属性，物体的质量是不能变化的。这样，图2乙展示出来的思想就和牛顿第一定律不一致。让学生在理解物体的质量是其惯性唯一量度的时候产生歧义。由此而言，前面给出的牛顿第二定律的推导方式有不严谨之处。
第三，存在着数据的浪费，因为每一次实验都是把受力、物体的质量以及加速度都测量出来，但在利用数据分析的时候每组仅用了两个量间的关系来分析，这样就浪费了一个数据，造成了实验资源的浪费。
为此，我们认为本节课的教学过程应该予以进一步的梳理并改进，以更好地进行教学。
3? ? 问题剖析
3.1? ? 物体的质量需要“保持不变”吗
为说清楚第一个问题，让我们先从历史的角度来看看牛顿第二定律是如何得出的。牛顿在其1687年发表的《自然哲学之数学原理》中是这样阐述的：运动的改变与外加的引起运动的力成正比，并且发生在沿着那个力被施加的直线上[3]。我们把他的这个结论“翻譯”成现代的表达，应该是：
■=■（1）
对（1）式进行全微分，可得
■=■=■=m■+■■（2）
■表示动量m■的变化率，■是加速度。
所以，我们今天所学习的F=ma并不是牛顿当年的第二定律。直到1750年欧拉才把牛顿第二定律写成F=ma的形式，也是从这个时候才默认质量是一个不变的量[4]。结合前面对第一个问题的说明，可以知道，在经典力学体系中，一个物体的质量是固有的，不会改变的，所以当我们在实验中确定了研究对象之后所得的数据以及图2甲的图像，都不是“控制”的结果。就像研究弹力的时候，我们不会说“控制弹簧不变，研究弹力与形变的关系”一样，因为研究对象没有变。由此论之，在前面所呈现的实验设计就有问题，不该说“控制”或“保持”物体的质量不变，因为它本来就不能是个变量。所以，前面给出的分析方式容易产生歧义，似乎质量的不变还需要“控制”才能实现。现实中我们做的只是给同一个物体施加不同大小的力，分析这个物体的加速度随其受力的变化规律，以及对质量不同的物体施加同样大小的力，分析不同物体受同样大小的力时，加速度的变化情况。
3.2? ? a-m图像辨析
一个物理规律，我们不仅用文字去描述，用公式去表达，还可以用图像去展示。为表明几个量间的关系，鉴于图形表达的局限性，一般画二维图线，横轴作为自变量，纵轴作为因变量，如果还有其他变量，则都被控制保持不变。这样，一条连续图线说明的是某一个研究对象经历的一个变化过程中，因变量如何随自变量的变化而变化的规律。
当变换了研究对象，把不同研究对象的数据放在同一张图表中的时候，则首先分别绘制不同研究对象的两个变量关系的图线，这样不仅获得每一个研究对象的个体的信息，还可以对几个不同物体间的关系进行比较。如某版本2019年的新教材中第92页呈现的“图4.3-1”一样[5]（如图3）。
这个图中两条过原点的线分别代表了两个质量不同的物体的加速度与受力的关系，两条线的斜率分别反映了被研究对象的质量的大小。由这个图，就完全可以得到加速度与受力、质量间的关系——每一条过原点的直线，都说明无论对哪个物体来说，当施加不同大小的力的时候，其加速度是随之变化的，但变化的过程中，有个不变的量，这个量的意义恰好是与物体本身的特征有关系，物体不变，斜率也不变。
而当用某一条垂直于F轴的线截这两条直线时，交点说明了对质量不同的物体施加同样大小的力，加速度是不同的，加速度越大的说明其质量越小。这样我们就不需要绘制图2乙，而且是在不让学生产生“物体的质量是个变量”的前提下，同样说明了“在受同样大小的力的时候，质量不同的物体加速度的大小与其质量成反比”的结论。
其实，不同版本的新教材都意识到了这个问题，例如，某教材在说明实验结论的时候特别强调了第一个实验是对“同一个物体”，而第二个实验是对“不同物体”，而且教材中仅要求“在坐标纸上作出m不变的时a-F图像”，可见编写者的用心良苦，期望避免让学生产生与牛顿第一定律相矛盾的、物体的质量可以逐渐变化的错觉。
3.3? ? 教学中牛顿第二定律的推导
通过前面的分析，以往的推理过程在理论的表达、实验的过程以及用图像进行数据处理可能会引起误解。现在， 2019年版的新教材提示我们还有更好的思路，那就是图像的斜率也是一个非常重要的要素。下面我们将细致分析基于图3的牛顿第二定律的推导过程。
推理方式一：
根据某版本的教材，首先测量质量为m1的小车，在不同的拉力（近似等于下面的小重物的重力）作用下的加速度，并将数据记录在表1中。通过对所记数据数值关系的分析，进一步作出图像（如图2甲所示那样）。
然后，改变物体的质量为m2，重复以上步骤，在同一张坐标纸里作出m2的加速度随受力的变化图像。这样就得到了两条斜率不同的过原点的直线（在所挂钩码的质量都远小于小车质量的前提下）。如果条件允许，可以进一步改变小车质量进行实验，把数据的关系也反映在前面的那个坐标纸中。具体过程在此不做赘述。
于是，就可以得到两条或者多条过原点的直线。下面，我们教学要做的就是把数据以及反映数据的图像与现实结合起来，分析数据与现实的对应关系。
第一，对于每个研究对象来说，其a-F图像都过原点，说明对于每个物体来说，物体的加速度都与其受到的外力成正比。而且不同小车的数据间互相印证结论的正确性。
第二，可以看到不同的研究对象，每一条图线的斜率都保持不变，而不同物体的斜率却并不同。这说明了什么？每条图线上的数据都是对同一个物体来说的，每条图线上的点都是对同一个物体而言，虽然它受力在变，加速度在变，但是它的质量不变，所以它的斜率没有变化。而当更换质量不同的研究对象时，根据实验数据作出图線的斜率也随之而变，说明斜率反映的是被研究对象自身的性质。
第三，可以进一步分析当被研究对象改变了的时候，它们的质量也是随着变化的（我们实验中，一般不是变换小车，而是每次实验都给小车加上不同的配重从而改变其质量），所以这一点在教学中是非常明确的。于是学生们看到，每次更换质量更大的研究对象之后，图线的斜率都会随之减小。而小车及配重的质量是容易获取的。并且，实验中我们也都会提供天平让学生测量小车、配重的质量。通过每次质量的改变关系，应该比较容易得到：当质量加倍的时候，仍旧受同样大小的力，加速度将减半，这也就说明了“物体加速度与质量成反比”。
由此，我们便得到了牛顿第二定律的基本内容。
但要注意，这并不是唯一的推导方式，学生们也可能会有不同的推导方式。
推导方式二：
因为我们现在已经处于实验手段非常先进的时代。测量质量可用天平;测量加速度，既可以用传统的打点计时器，也可以用数字化实验系统的光电门或者是位移传感器;而测量物体受力，除了以往的认为小钩码的重力即等于物体受到的拉力，我们现在有了无线的、数字化的力传感器，把它固定在小车上，可以直接精确地测量小车所受的力。基于这样的实验前提，我们通过一次实验就可以把小车质量、加速度和受力全部都测出来。这样，这三个数据间就会给予实验者以提示，会不会物体受力F等于物体的质量m与加速度a的乘积？这个规律会不会有普遍性？
于是，在这种思考下，学生完全可以开始第二次、第三次的测量。让学生每一次都分析受力F、物体的质量m与加速度a三者的关系，如果测量足够准确的话，会发现每一次都是满足F=ma的。即F1=m1a1，F2=m2a2，F3=m3a3…
这样，对于同一个m，则可以得到
■=■（3）
或者：
■=■（4）
同理，当物体受力相同的时候
m1a1=m2a2（5）
或
■=■（6）
也就是对于两个不同的物体，受力相同时，加速度与物体的质量成反比。
这种推理过程与一般教科书上给出的顺序是相反的，先得到牛顿第二定律中所描述的三者间的关系，然后我们熟悉的正反比关系成了实验结论的推论。而这种方法却能非常好地体现我们课程标准要求的基于数据和证据的推理并进一步探究的愿景。
推理方式三：
如果实验的条件可以更容易控制的话，可以在第二种推理方式的基础上进一步改进。对同一物体m1而言，在不同的力F1、F2、F3作用下，可以获得对应的一系列加速度的值。更换不同质量的物体，仍旧对其施加与方才一样的F1、F2、F3作用力，并分别测量其相应的加速度，最终可以形成表1所示的矩阵。我们把每次实验的数据记录在这个表格中，表2即为我们实施的一组实验结果。由于这些数据以非常好的结构呈现出来，这样分析就更方便、灵活了。既可以分析与每一个加速度对应的质量和受力的大小关系，可以直接得到F、m和a的关系，也可以分别考查这个矩阵的行和列。每一行的加速度，对应同一个物体受不同力的作用力，通过对比加速度的数值变化和对应的受力的数值变化，就可以得到这个物体的加速度与受力的正比关系。而每一列的加速度，是不同物体受同样大小的力产生的对应加速度。对比加速度与质量的关系，就可以得到不同质量的物体，当受相同的力的时候，加速度不同，加速度与质量成反比关系。
当然，为了进一步锻炼学生数据推理的能力，可以让他们把不同质量的物体的加速度随受力的变化的a-F图像绘在同一坐标系中，将作出不同的过原点的直线，如图4所示。观察该图可以发现，同一个物体受到的作用力越大，产生的加速度越大;不同物体受到相同的作用力时，物体的质量越大，产生的加速度越小，每一条直线的斜率对应着相应物体质量的倒数■，由此得出直线所对应的表达式a=■F，进一步推导可以得出牛顿第二定律的表达式。
3.4? ? 关于实验方案设计的说明
为了提升学生科学探究的能力，我们经常希望学生能自己构想出探究的方案，但在进行牛顿第二定律教学的时候却发现非常困难。如图1所示的实验方案，学生很难设计出来。其实，从物理学发展的历史来看，牛顿也不是做了实验才得到的第二定律，而是他作为研究力学问题的前提把该定理放在了他的体系中。而当时的人们看到牛顿运动定律之后，也并未拿出一个可以验证的方案来证明。真正从实验上把牛顿第二定律证明出来的是阿特伍德，他根据牛顿第二定律而设计并实施了实验，说明了牛顿第二定律的正确性，装置如图5所示。当然，他在进行实验的时候也是默认了物体质量的恒定性。
对照图1与图5，可以发现图1所示的实验方案实际就是阿特伍德机的变形。当把其中一个物体置于光滑水平面上（现实中是置于将摩擦力平衡好的斜面上），则它受到的合力就仅等于绳子对它的拉力。而为了测量方便，当其质量远大于另一个物体，并且滑轮的转动惯量足够小的时候，这个大质量的物体所受的绳子的拉力就近似等于小物体的重力。这样的设计就有了可以直接测量物体质量、加速度和受力的可能。但是，该实验方案中研究对象不是单个的物体——小车，而是小车与重物这个系统。此方案中，被研究对象的质量（小车与重物的总质量）与其受力（重物的重力）二者不是互相独立的，所以才有必须两个物体的质量需要有非常大的差异的条件限制。由此可见，无论是阿特伍德机还是图1所示的实验，其设计的前提必须是对牛顿第二定律有着深刻理解。而这对于还未接触过牛顿第二定律的学生来说，是非常困难的。
而我们前面给出的常见的控制变量的实验方案，其实是在没有好的测量加速度方法情况下的无奈选择。现在我们有了打点计时器，更是有了配置了蓝牙的力传感器，这就使得在研究物体加速度与受力、质量间的关系的探索变得相对容易。鉴于大家对打点计时器比较熟悉，在此，我们不再赘述，仅给出利用传感器进行探究的实验方案：将无线的力传感器固定到物体（小车）上，配以位移传感器，这样直接可以测量物体的加速度与受到的拉力的关系，实验装置如图6所示。而且加速度和受力的数值直接可以以列表和图像的方式呈现在学生面前。这样现象与数据同时呈现在学生面前，“数”与“理”之间也更易于结合，并且大大缩短了探究的时间，让学生的注意力可以集中于要分析和解决的问题。
4? ? 最终结论
要贯彻课程标准提出的提升学生物理学科核心素养的要求，首先就应该帮助学生构建前后一致的物理学的理论体系，同一个物理概念，在整个物理体系中的解释应该是自洽的。本文从牛顿第二定律的常规教学方式入手，分别讨论了实验的问题、数据的整理和推理的问题，认为这种教学方案在实验原理、数据搜集和整理、推理过程等方面存在着可以讨论之处，这些会造成学习者对物理原理理解的偏差，不利于他们形成自洽的物理学体系。所以，教学应该关注学生眼前出现的场景是什么？其中的逻辑是什么？我们应该让课堂是逻辑的，这样才有利于知识的逻辑发展和学生的认知发展，以及课堂上师生的活动发展保持一致。这样的课堂，才能真正让学生提升其物理观念，在探究过程中进行推理和论证，从而培养其科学的态度与责任，真正有助于提升学生的物理核心素养。
我们今天的教学，既应继承此前物理教学的优点，更应立足当下选择更为先进和便捷的教学和实验的条件，勇于改进教学的思路方法，从教学的现实入手，构建更为合理的解决方案。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社， 2018.
[2]马文蔚. 物理学[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
[3]牛顿.赵振江，译.自
然哲学之数学原理[M].北京：商务印书馆， 2006.
[4]李艳平，申先甲.物理学史教程[M].北京：科学出版社，2003：109.
[5]彭前程，黄恕伯.普通高中教科书物理必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019：83-89.
（栏目编辑? ? 李富強）
