标题 | 罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法 |
范文 | 邱永利 【摘要】本文介绍了罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法——导数法和常数法. 【关键词】罗尔定理;辅助函数;构造 【项目】河套学院教学研究项目(HTXYJY16001) 微分中值定理是溝通导数值与函数值的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数整体性质的工具.罗尔定理是微分中值定理的基础定理.在罗尔定理的应用过程中,构造辅助函数是重点,也是难点.构造辅助函数的方法很多,为了与教材同步,便于学生理解掌握,这里只介绍两种辅助函数构造方法:导数法和常数法. 一、导数法 所谓导数法就是应用我们熟悉的导数知识构造辅助函数的方法.具体地,将要证明的结论中的ξ换为x,移项使结论变为f′(x)=0的形式,需要找到一个函数F(x),使其导数为f(x)或f(x)的一个因式. 情形1结论为ξf′(ξ)=λ的形式. [f(x)-λlnx]′=f′(x)-λx=xf′(x)-λx,当[f(x)-λlnx]′x=ξ=0时,[xf′(x)-λ]x=ξ=0,可构造辅助函数F(x)=f(x)-λlnx. 例1设0 证明将待证结果变形为ξf′(ξ)=f(b)-f(a)lnb-lna, 设辅助函数F(x)=f(x)-f(b)-f(a)lnb-lnalnx,F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,并且F(a)=F(b)=f(a)lnb-f(b)lnalnb-lna,由罗尔定理可知,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=f′(ξ)-f(b)-f(a)(lnb-lna)ξ=0,即 f(b)-f(a)=ξf′(ξ)lnba. 情形2结论为nf(ξ)+ξf′(ξ)=0的形式[1]. [xnf(x)]′=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)], 当[xnf(x)]′x=ξ=0时,[nf(x)+xf′(x)]x=ξ=0(x≠0). 可构造辅助函数F(x)=xnf(x). 例2已知函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0. 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=-2f(ξ)ξ. 证明将结果变形为2f(ξ)+ξf′(ξ)=0,设辅助函数F(x)=x2f(x),F(x)在[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理可知, 2f(ξ)+ξf′(ξ)=0,即f′(ξ)=-2f(ξ)ξ. 情形3结论为f′(ξ)+λf(ξ)=0的形式[1]. [eλxf(x)]′=λeλxf(x)+eλxf′(x)=eλx[λf(x)+f′(x)]. 当[eλxf(x)]′x=ξ=0时,[λf(x)+f′(x)]x=ξ=0(eλx>0). 可构造辅助函数F(x)=eλxf(x). 例3已知函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=f(a)=0. 证明至少存在一点ξ∈(0,a),使得f′(ξ)-2f(ξ)=0. 证明设辅助函数F(x)=e-2xf(x),显然,F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且F(0)=F(a)=0,由罗尔定理知,在(0,a)内至少存在一点ξ,使得 F′(ξ)=-2e-2ξf(ξ)+e-2ξf′(ξ)=0, e-2ξ[-2f(ξ)+f′(ξ)]=0,即f′(ξ)-2f(ξ)=0. 二、常数法 所谓常数法就是首先将结论变形,使常数部分分离出来并令其为常数k,然后通过恒等变形,使等式一端为a及 f(a)的代数式,另一端为b及f(b)的代数式,观察关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式.若是,只需将a写成x,f(a)改写成f(x),换变量后的端点表达式即为辅助函数F(x). 例4设a>0,b>0,试证存在ξ介于a,b之间,使得aeb-bea=(1-ξ)eξ(a-b). 证明将结论变形为(1-ξ)eξ=aeb-beaa-b, 令aeb-beaa-b=k, 则eaa-ka=ebb-kb,设F(x)=exx-kx,显然F(x)满足罗尔定理条件,由罗尔定理可知,至少存在一点ξ介于a,b之间,使得F′(ξ)=ξeξ-(eξ-k)ξ2=0, ξeξ-eξ+k=0,即aeb-bea=(1-ξ)eξ(a-b). 【参考文献】 [1]王兰芳.例谈中值定理应用中辅助函数的引入[J].高等数学研究,2011(1):32-33.
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