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浅析高考数学中的最值函数

范文

周燕

摘要：最值函数是一个特殊且重要的函数，在近几年高考是试题中频频出现，考查同学们理解新概念的能力和创新应用的能力，而最值函数在选修教材中是以课后习题的形式出现，很多考生对它认识较浅、理解不深刻，再加上涉及的问题颇具思考性和挑战性，导致这道题得分率较低.本文主要介绍最值函数的定义、常用性质和典型问题，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

关键词：高考;最值函数;转化;数学思想

中图分类号：G4? 文献标识码：A? 文章编号：（2020）-38-238

一、基础知识

1.定义最值函数的定义：设a，b为实数，则min{a，b}=a，a≤bb，ba

2.常用性质min{a，b}≤a+b2≤max{a，b};min{a，b}≤ab≤max{a，b};

3.常用策略明确最值函数的定义是解题关键，这类题综合性较强，考查高中较为常见的数形结合、化归和转化、分类讨论、不等式放缩等重要数学思想，注重考查逻辑推理、数学运算的数学素养.

二、例题鉴赏

1、最值函数与不等式

例1（2020年全国Ⅲ卷文科23题、理科23题（2））

设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，

证明：max{a，b，c}≥34.

证明：解法一由b·c≤b+c24可得abc≤a34，故a≥34，所以max{a，b，c}≥34.

解法二不妨设max{a，b，c}=a，因为abc=1，a+b+c=0所以a>0，b<0，c<0，

∵a+b+c=0∴-b>0，-c>0∴a=-b-c≥2bc，∵abc=1∴a≥21a∴a3≥4

所以a≥34，即max{a，b，c}≥34.

点评：本题是最值函数与不等式交汇综合题，考查学生对数学符号的理解水平，准确理解最值函数定义，抓住核心，简明扼要.解法2巧妙利用不等式的基本性质与基本不等进行放缩.

2、最值函数与平面向量

例2（2014年浙江卷）

记max{x，y}=x（x≥y）y（x

A.min{|a+b|，|a-b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C.min{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2D.min{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

解：利用常用性质min{a+b2，a-b2}≤a+b2+a-b22=a2+b2，故选D.

点评：本题是最值函数与平面向量的交汇综合题，本题旨在考查平面向量加法、平面

向量数量积及其几何意义，既体现向量本质，又依赖数学知识之间的有机联系.在理解题意的基础上用最值函数的常用性质妙解此题.

3、最值函数与分段函数

例3（2009年宁夏、海南卷）

用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），

则f（x）的最大值为（? ）

A.4? B.5? C.6? D.7

解：在平面直角坐标系中做出三个函数

的图象，找到符合题意的分段函数函数图象，

找到在第一项象限的最高点A（4，6），

所以f（x）max=6.故选C.

点评：本题考查指数函数与一次函数的图象和性质的应用，同时考查数形结合、转化与化归的数学思想，本题中的函数实质上是一个分段函数，解题过程中要紧扣函数图象的特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题，数形结合就能确定出函数的最值点，明确min{a，b，c}的含义是解决问题的关键.

通过本文可以看出，以最值函数为背景设置的问题成为近几年高考的热点问题，为高考试题注入了新鲜的血液，试题很好的体现了重基础、重能力的立意，引领中学教学回归教材，重视数学基本概念、基本方法，重视培养学生的核心数学素养。在高考中的最值函数，虽其外表简单朴素，但其内涵深邃，在解题中常需要结合分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方可顺利求解。最值函数试题有一定思维量，为考生施展才华搭建了平台，使具有不同基础，不同能力的考生均能发挥出应有的水平。可以想见，今后最值函数作为背景的试题还会出现在高考试卷上。

参考文献

[1]教育部考试中心高考试题分析理科数学分册 2020年版高等教育出版社.

[2]高中數学题根教学黄坪2015年版华东师范大学出版社.

[3]普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5 2007年版人民教育出版社

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