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主线问题驱动的线性代数教学改革

范文

袁磊李元敏

【摘要】针对目前线性代数课程教学所面临的问题，倡导以线性方程组的求解为主线问题，串联整个课程内容，以问题驱动的方式组织和展开教学.教学实践表明，这种主线问题驱动的教学方式，不仅有助于学生整体把握学习内容，也有利于培养学生解决问题的能力;客观上也提高学生在学习过程中的主动性和积极性.

【关键词】问题驱动式教学;线性代数主线问题;课程教学改革

目前在高校各个专业，线性代数已经成为一门重要的数学公共基础课.它不仅为学生许多后继专业课提供必要的理论知识和工具，而且对培养学生的逻辑思维和推理能力起着无可替代的作用.

从教学的角度，除了让学生掌握一些基本的理论、方法和概念外，还应适当培养学生应用抽象理论解决问题的能力.这一点也已经成为对该课程教学的基本共识.

一、目前线性代数教学存在的问题

通常在国内高校数学公共课安排上，线性代数是安排在高等数学之后.因而，在此课程之前，学生已经接受了一定程度的数学训练，具备了一定的抽象逻辑思维能力.但从教学实践上看，学生仍然感到有较大困难.究其原因，主要有如下两个方面：

一是课程内容的自身特点.线性代数理论抽象，概念庞杂，要真正掌握，必须具备一定对抽象概念的理解能力.同时在内容构成上，各个构成部分条块明显.学生难以在整体上把握和理解课程的理论体系和逻辑框架，容易犯“见木不见森林”的错误.

二是授课方式.教学过程中，教师通常要么强调理论的系统性，授课中思维跨度过大，学生跟不上教师的思维;要么强调计算能力.不仅使学生缺乏抽象思维的训练，而且也与当下信息技术渗透到线性代数课程的大趋势相背离.

从而在课堂教学中，教师难以充分调动学生的积极性;学生普遍感到课程抽象、乏味且不易把握重点.教师和学生都认为线性代数是一门比较难讲授和掌握的课程.

二、国内外教改的方法和思路

由于代数学在整个数学教育中的基础性和重要性，对线性代数课程的教学改革一直是国内外数学教育界比较关注的问题.

对数学专业的课程教改，主要是从现代代数学的角度来重新审视与认识这门课程.如，从模的观点来重新审视与认识线性代数[1].还有一些教材是从线性空间的理论框架阐述线性代数的整个内容[2].这些处理方法虽在数学上更为本质，但对非数学专业的教学，理论的阐述和概念的引入要符合学生的接受心理和认识水平.现代数学的观点和角度只能让我们从宏观的把握线性代数教改的方向.

对非数学专业的线性代数课程教学改革主要有如下的两种思路和途径.

一是从课程内容的组织上.Lay[3]认为线性代数应该是矩阵导向的课程，应该从具体的例子出发来引入概念和介绍理论.另一些学者强调应从学习的心理过程出发，如Robert[4]等就认为几何化（可视化）才能够真正建立学生的“概念意象”.从而克服抽象的困难和形式化的障碍.还有一些学者直接从数学建模的角度来组织课程教学，如Trigueros[5]等学者就尝试用经济学的模型问题来引入教学内容.

二是从教学的授课形式上，主要是信息技术的引入.在国外的教学实践中，已经将计算机引入到线性代数的整个课堂教学中.如在麻省理工开放课程（MIT Open Course 18.06）[6]课堂上，教师在讲解课程内容的同时，还利用计算机模拟演示教学内容，将抽象的代数概念形象化的表示，同时还注重教会学生如何利用计算机解决课程中的问题.

麻省理工学院的这种教学方式必定是今后教学改革的主要方向，但目前和我们的实际并不完全契合.目前从整个大学线性代数的教学要求上看（课程教学大纲和考研数学大纲），仍然强调的是对基础理论和方法的掌握.直接引入国外的这种教学方式，必定会对学生今后的升学等诸多方面产生不良影响，所以麻省理工学院模式的教学改革需要顶层设计.不过我们的教学改革可以从其中汲取营养，做出一些有益的探讨.实际上将计算机引入线性代数课程教学，国内一些学者已经做了大量的尝试[7].这些尝试主要是将一些计算软件（如Matlab、Mathematica、Maple等）引入教学.通常都是编写一定量的数学实验，作为教学的补充.

随着高等教育人才培养模式的转型和现代信息化技术对教学的渗透和影响，传统的线性代数教学模式应该进行适当循序渐进的改进.我们认为教学改革的主要思路应该是基于对线性代数基本体系和问题的认识.重新组织和选择教学材料，从而重新构建教学的过程和模式.

根据现代数学的观点，线性代数作为代数学一个最初等的分支，研究一类最简单的代数系统：线性空间及其同态映射.对非数学专业的线性代数课程教学，教学改革的目標是将上述这一抽象的系统，用恰当且容易理解的方式进行改造和重述，使得作为初学者的学生易于理解和把握.

三、问题驱动下的线性代数教学模式

线性代数从内容上看，理论抽象、概念繁杂.从内容结构上看，各部分内容相对独立，呈块状结构.主要内容包括：行列式，矩阵，线性方程组，向量理论，特征值与特征向量和二次型理论.实际上，可以从矩阵、线性方程组、线性代数体系、向量理论等不同的角度组织的教学，其展开过程主要取决于如何串联这些分块内容的逻辑脉络.如何根据学生在学习过程中的心理规律，把课程的内容有机的串联在一起，将各种抽象概念通俗易懂的阐述，使得缺乏抽象数学训练的学生也能较好地接受这些概念是教学改革的关键.

我们认为应该从学生今后专业应用的角度出发，选择一个主要问题为主线来串联组织内容.学生在学习过程中受到这个主要问题的驱动，自然而然的理解相关的抽象概念，对课程内容整体把握，最终达到“既见树木也见森林”的学习效果.

（一）问题驱动下的教学模式的研究

众所周知，问题是诱发思维的直接动力.在教学过程中，往往可以通过对问题的解决激发学生的求知欲，培养学生的创新能力.李尚志教授在组织国家精品课程编写和教材时就是从问题出发来组织课程内容[8].赵慧斌[9]认为问题驱动的目的是让学生参与到课堂教学当中，通过引导学生思索，提问题和做结论，来推动学生进行课堂学习，强化教学的互动效应.其他的一些学者也沿着这样的思路做了一些有益的探讨[10-11].这些教学的方法都是针对课程中的具体内容，引入不同的问题.由此构成教学中的“问题链”引导学生逐步地理解和掌握课程内容.

还有一些学者从另外的角度，提倡以实际应用问题驱动线性代数课程教学[12].

（二）问题驱动下的线性代数教学改革思路

用“问题链”方法可以提升学生的学习兴趣，起到了一定的教学效果.但我们也注意到用分散的“问题链”仍然没有很好地解决线性代数课程结构分散模块化的问题.初学者对各个概念的理解可以有所改善，但难以在整体上把握.这些概念，理论和方法给初学者的印象仍然是分散的，没有形成统一的有机体.此外以实际应用问题驱动、激发学生的学习兴趣当然是一种值得尝试的手段，但由于目前各高校线性代数课程的学时通常较少，实际应用问题的引入受到较大的学时限制.另一方面，也受限于教师自身的专业背景，恐难推广.所以，我们认为问题驱动的教改还是应从课程本身寻找一个合适的主线问题.

我们提倡以主线问题“讨论线性方程组Ax=b的求解”驱动的方式组织整个教学.原因主要有如下的两方面：一是对理工科和经管农林类学生，在他们今后专业应用上都会大量的利用计算机解决实际的科学和工程应用问题.而这些问题最终绝大部分都会退化到解决一个线性方程组.掌握线性方程组求解的相关理论和方法，对他们进一步地深入专业学习和今后的应用是重要的.另一方面，线性方程组的求解在课程结构上也是一条容易让初学者进入的路径.

（三）主线问题驱动下的线性代数教学改革实践

组织教学材料的基本的思路是：讨论线性方程组Ax=b求解所涉及的理论、工具和方法.在教学的过程中始终贯彻这个主线问题.用这条主线去串联、组织和重构教学材料.凡是和这条主线（完全）无关的内容，都少讲甚至不讲.让学生以问题为导向去理解这些抽象的概念，理论和方法，最终觉得这些概念的提出都是自然的，绝大部分都是他们自己可以通过自身的努力可以想到的.

同时我们也适当地考虑在现代信息技术影响下，教学内容的一些取舍问题.之所以是“适当地”，原因在于目前整个教学体系和教学大纲存在一定的刚性，如前所述，这方面最终需要一些顶层设计.在教学实践上，我们做了如下的一些尝试：

1.行列式理论

行列式理论引入就是解决方程个数等于未知量个数的线性方程组的问题.通过低阶方程组引入低阶行列式作为求解的工具，研究其定义的规律引入n阶行列式，从而一般的规律（克莱姆法则）.但弱化只具有理论价值的克莱姆法则的计算.适当地降低行列式的计算要求.通常在工程应用中，都可以通过相关的计算软件完成.对学生要求掌握基本的方法即可.不必把有限的教学时间放在复杂的计算和技巧上.

2.矩阵理论

从线性方程组表示的角度引入矩阵的运算.从消元法的角度引入矩阵的初等变换，并引入初等矩阵利用乘法解释初等变换.逆矩阵也是从方程求解的逆元角度引入.弱化对矩阵运算技能的要求，关键是掌握计算的基本方法.可以增加实验课，通过一些计算软件（如Matlab）完成.

3.向量理论

在引入向量的运算法则后，将线性方程组Ax=b的求解问题表示为向量形式.

这条讲授的路线不同于常见的线性代数教材用初等变换的办法得出上述结论的方法.虽然表面上稍复杂，但却可以串联起整个的向量理论，使得学生在学习抽象的向量理论时始终围绕求解线性方程组的主线问题，对引入的新概念、方法和工具不再感到零散和突兀.

4.線性方程组理论

利用向量线性表示得到的结论给出线性方程组解的理论，即方程可解的充要条件是Rank（A）=Rank（A，b）.在线性方程组解的结构处理上，着重从（几何角度）线性空间理论来解释，即：齐次方程的解构成一个（n-Rank（A）维）的线性空间，线性空间的一组基底即是方程的基础解系.非齐次方程的解构成一个仿射空间.这样就可以将线性空间理论通过方程组的主线问题串联到教学内容中.

5.特征值和二次型理论

对特征值理论，不从算子或空间理论角度解释.完全解释成线性方程组理论在特征方程Ax=λx和矩阵上的应用问题.对二次型的标准化过程也看作是线性方程组的应用.

从教学的实践上看，绝大部分学生对这种主线驱动教学的方式能够接受.他们对课程整体内容能够很好地把握，对抽象庞杂的概念不再有明显的畏难和抵触情绪，达到了一定的教学效果.并且我们相信这种教学方式对他们今后的专业学习也是有益的.

四、结语

线性代数课程由于其自身理论抽象，概念庞杂，各个理论部分分块明显，目前已经成为高等教育数学公共课程教学的难点.如何根据学生学习心理过程机制，合理组织教学内容、设计恰当的教学方式和教学路径是教学改革成功的关键.从教学的实践上看，用一个主线问题串联、组织课程的主要内容进行讲授（即：用问题驱动的方式进行教学），可以很好地统领整个教学中的各个环节，激发学生的求知欲，也利于培养学生的学习主动性，提高学生的创新思维能力和解决问题的能力.

【参考文献】

[1]Roman S.Advanced Linear Algebra[M].北京：世界图书出版公司，2008.

[2]陈恭亮，叶明训，郑延履.线性空间引论[M].北京：清华大学出版社，2009.

[3]Lay D C.Linear Algebra and Its Applications，Addison-Wesley，1994.

[4]Dorier J L，Robert A，Robinet J，et al.The Obstacle of Formalism in Linear Algebra[M]∥ On the Teaching of Linear Algebra.Springer Netherlands，2000：85-124.

[5]Trigueros M，Possani E.Using an economics model for teaching linear algebra[J].Linear Algebra & Its Applications，2013（4）：1779-1792.

[6]Gilbert Strang.18.06 Linear Algebra.Spring 2010.Massachusetts Institute of Technology：MIT OpenCourseWare[OL].https：∥ocw.mit.edu.License：Creative Commons BY-NC-SA.

[7]吴赣昌.线性代数（理工类）：第3版[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[8]李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.

[9]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究，2008（4）：91-94.

[10]贾昭.线性代数问题驱动教学方法探究[J].求知导刊，2016（24）：106-106.

[11]师钦贤.对以问题驱动线性代数教学的研究[J].现代教育技术，2010：58-59.

[12]张杰，张清华，刘勇，等.融入现代计算技术的《线性代数》教材改革的实践与探讨[J].科学咨询（科技·管理），2012（5）：123-125.

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