| 标题 | 平面向量中两个共线定理的运用 |
| 范文 | 【中图分类号】O181 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）07-0263-02 先看一道例题： 例1：如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P、G、Q三点共线.设OP=xOA，OQ=yOB，则1x+1y= 这是平面向量里面非常经典的一道题目，类似的题目也很多。有很多同学看到这类题目却一头雾水，无从下手，即使上课听老师讲了，课后自己去做还是东凑西拼，找不到思路。我们先来回顾一下两个定理： 一、平面向量共线定理 向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个實数λ，使b=λa. 二、平面向量三点共线定理 在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的 一对实数x，y使得：OP=xOA+yOB且x+y=1. 分析：例1考查的就是平面向量共线定理的应用。所以解决问题的关键是要找出图中的“共线”关系，并进行线性表示。一般分为三步：第一步由OM与PQ相交于G，确定两个共线关系，即：OG和OM共线，PG和PQ共线.第二步利用平面向量共线定理，从“两个方面”分别表示出OG，第三步利用平面向量基本定理的唯一性，列出方程组，求出有关参数。 解：一方面∵OG和OM共线，且G是△OAB的重心， ∴OG=23OM=23×12（OA+OB）=13OA+13OB. 另一方面∵PG和PQ共线，可设PG=λPQ ∴OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ（OQ-OP）， =（1-λ）OP+λOG=（1-λ）xOA+λyOB 又OA，OB不共线，利用平面向量基本定理的唯一性得： 在书写格式上，可以采用，便于抓住思路，叙述条理清晰。 反思上面的解法，向量PG和PQ共线，即G、P、Q三点共线，那我们还可以尝试用平面向量三点共线定理来做，请看以下解答： 又解：∵G是△ABC的重心， ∴OG=23OM=13OA+13OB=13·1xOP+13·1yOQ =13xOP+13yOQ. 又G、P、Q三点共线，由平面向量三点共线定理知，系数和13x+13y=1. 从而得1x+1y=3. 怎么样，把上面两个定理同时运用，解答过程是不是变得非常简单了？！ 其中用平面向量三点共线定理解题的关键是，其中一个向量要用另外两个终点共线的向量线性表示。此题中即：向量OG转化为用OP和OQ表示. 例2：在△ABC中，点P是AB上的一点，BP=2PA，Q是BC的中点，AQ与CP交于点M，且，求t的值. 分析：抓住AM〗共线，用平面向量共线定理解决。 解法一：一方面 解法二：两个定理同时运用 解：∵ ∴A、M、Q三点共线，∴ 怎么样，解法二两个定理同时运用是不是让你很惊喜，够简单吧！ 下面我们就用这个简单的方法再做一题。 例3：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、AD上的点，AM=45AB， AN=23AD，连接AC、MN交于点P.若AP=λAC，求λ的值. 分析：由题意，抓住P、M、D三点共线，AP用AM和AD来表示. 解：由AP=λAC及平行四边形法则知： AP=λ（AB+AD）=λ（54AM+32AD）=54λAM+32λAD. ∵P、M、D三点共线，∴54λ+32λ=1，求得λ=411. 作者简介：王磊，男，汉族，籍贯浙江兰溪，中学二级，大学本科，延安大学毕业。 |
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