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复合函数在一点的极限与连续性的解析

范文

吕胜利李静铂

【摘要】复合函数在一点的极限与连续性与构成复合函数的内层函数及外层函数在同一点的属性有直接的关系，本文举例分析由两个函数所构成的复合函数在一点的极限与连续性与这两个函数各自在同一点的极限与连续性的关系.

【关键词】复合函数;函数的连续性;函数在一点的极限

1 引言

函数极限与连续性是高等数学的基本概念，函数的极限运算也是中学数学要求掌握的一种基本的运算能力，而连续性的意义对于中学生也是直观显见的.本文从高等数学的基本理论出发，分析复合函数在一点的极限与连续性的不同情况.根据函数在一点连续的定义，一个函数在一点有极限是函数在该点连续的必要但非充分条件，而如果一个函数在一点连续，则这个函数在这一点的极限等于该点的函数值.对于复合函数，根据内层函数与外层函数连续性的不同情况，复合函数在一点是否有极限、极限的计算以及是否连续也有各种不同的情况.本文对这些情况给出具体的举例分析，希望对中学数学及大学数学的教学提供一些直观的素材.下面给出函数在一点的极限及函数的连续性的基本概念与相关定理.

2 基本概念与定理

4 结语

根据以上分析可以看到，复合函数在一点的极限值与内层函数及外层函数的连续性有直接关系.我们可以给出以下结论：对于复合函數y=f[g（x）]，有U°（x0）Df。g，且g（x0）=u0，若复合函数y=f[g（x）]在x=x0处不连续，则函数u=g（x）在x=x0处不连续或函数y=f（u）在u=u0处不连续.这一结论可以看作定理3的逆否命题.另外，从不同情况的分析可以看到，若函数在一点连续，在求函数在该点的极限时，极限符号与函数符号可以交换.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]杨传翔.如何理解极限的定义 [J].中国科教创新导刊，2010（2）： 102-103.

[4]李卫峰.复合函数极限法则的一个注记 [J].大学数学，2014（6）： 87-88.

[5]马建清，向彩容，喻敏.关于求极限的几种方法 [J].高等函授学报（自然科学版），2006（6）： 35-36.

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