标题 | 2020年高考数学模拟试卷一 |
范文 | 本刊试题研究组 一、填空题(本大题共14小题,每题5分,共70分) 1.已知全集U={1,2,3},A={2},则瘙 綂 UA=______. 2.已知复数z=m-i1+i(m∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为______. 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5∶5∶4,现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为______人. 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值为______. 5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2),则双曲线的离心率为______. 6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和大于9的概率为______. 7.已知变量x,y满足约束条件|2x+y-2|≤1,x≥0,y≥0,则x-2y+1的最大值为______. 8.已知角α+π6的终边经过点P(-1,-22),则sinα=______. 9.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,∠CAB=90°,AC=AB=2,CC1=2,P是BC1的中点,则三棱锥CA1C1P的体积为______. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足Sn=an+1,则数列{Sn}的前10项的和为______. 11.已知函数f(x)=2x2+4x+1,x<0,1ex,x≥0,若函数h(x)=f(x)+12x-a恰有3个不同的零点,则实数a的取值集合为______. 12.若等边△ABC的边长为2,其所在平面内的两个动点P,M满足|AP|=1,PM=MB,则CM·CB的最大值为______. 13.已知正数a,b,c,d满足1a+2b=1,2c+3d=2,则a+bcd的最小值为______. 14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A是圆C:(x-4)2+(y-1)2=92上一动点,点B是直线x-y+2=0上一动点,若∠AOB=90°,则OBOA的最小值为______. 二、解答题(本大题共6小题,共计90分) 15.(本小题满分14分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3cos(B+C)+2sin2A=0. (1)求角A的大小; (2)若B=π4,a=23,求边长c. 16.(本小题满分14分) 如图,四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,AD=2BC,且∠BAD=∠BPA=90°,平面APB⊥底面ABCD,點M为PD的中点. (1)求证:CM∥平面PAB; (2)求证:PB⊥PD. 17.(本小题满分14分) 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是圆锥,下部的形状是圆柱(如图所示),并要求圆柱的高是圆锥的高的2倍. (1)若圆柱的底面圆的半径为3m,仓库的侧面积为63πm2,则仓库的容积是多少? (2)若圆锥的母线长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大. 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,0),且两准线间的距离为833. (1)求椭圆的方程; (2)已知B2,B1分别是椭圆的上、下顶点,过点E(0,12)的直线l与椭圆交于M,N两点,直线MB2与直线NB1的交于点T. ①若直线l的斜率为12,求点T的坐标; ②试问点T是否在某定直线上?若在定直线上,求出定直线方程;若不在定直线上,请说明理由. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=x2+(a+2)x+aex(a∈R),g(x)=exf(x). (1)若A={x|g(x)≤9,x∈[a,+∞)}≠,求实数a的取值范围; (2)设f(x)的极大值为M,极小值为N,求MN的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N*), (1)若数列{an}满足a10=-2,a4,a14,a9成等比数列; ①求数列{an}的通项公式; ②数列{bn}的前n项和为Sn,当n多大时,Sn取最小值; (2)若数列{cn}满足cn=an+1an+2-a2n(n∈N*),且等差数列{an}的公差为13,存在正整数p,q,使得ap+cq是整数,求|a1|的最小值. 附加题 21.(本小题满分10分) 已知直线l:x-y-1=0在矩阵M=2013对应的变换作用下变为直线l′:ax+by-2=0,求实数a,b的值. 22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l过点(2,0),且倾斜角为60°,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ2=4cos2θ+3sin2θ. 求:(1)曲线C的直角坐标方程; (2)直线l被曲线C截得的线段长. 23.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0). (1)求抛物线C的方程; (2)过F(1,0)作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B和C,D四点,且△ABD的面积是△ABC的面积的4倍,求直线l2的方程. 24.(本小题满分10分) 设n≥4且n为正整数,从{1,2,…,n}中选出4个不同的数a,b,c,d使得a+d=b+c(不考虑a,b,c,d间的顺序)的不同取法种数记为f(n),如f(4)=1,f(5)=3. (1)求f(6)、f(7); (2)设n≥4,求f(n). 参考答案 一、填空题 1.{1,3} 2.1 3.42 4.15 5.5 6.16 7.52 8.1-266 9.23 10.1023 11.{1,12+12ln2} 12.4 13.13+43 14.14 二、解答题 15.(1)在△ABC中,由A+B+C=π, sin2A+cos2A=1及3cos(B+C)+2sin2A=0, 得:3cos(π-A)+2(1-cos2A)=0, 所以2cos2A+3cosA-2=0, 所以(2cosA-1)(cosA+2)=0, 因为cosA∈(-1,1),所以cosA=12, 因为A∈(0,π),所以A=π3. (2)sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB =32×22+12×22=6+24, 在△ABC中,由正弦定理得:csinC=asinA, 所以c6+24=2332,所以c=6+2. 16.证明:(1)取AP的中点H,连接BH,HM, 因为H,M分别为AP,DP的中点, 所以HM=12AD且HM∥AD, 因为AD∥BC且AD=2BC,所以HM=BC且HM∥BC, 所以四边形BCMH为平行四边形,所以CM∥BH, 因为CM平面PAB,BH平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (2)因为∠BAD=90°,所以BA⊥AD. 因为平面APB⊥平面ABCD,AD平面ABCD,平面APB∩平面ABCD=AB, 所以AD⊥平面APB, 因为PB平面PAB,所以PB⊥AD, 因为∠BPA=90°,所以PB⊥PA, 因為PA∩PD=P,PA,PD平面PAD, 所以PB⊥平面PAD, 因为PD平面PAD,所以PB⊥PD. 17.(1)解:设圆锥的高为hm,因为圆柱的高是圆锥的高的2倍,所以圆柱的高为2hm. 仓库的侧面积 S=12×2π×39+h2+2π×3×2h=63π, 所以9+h2=21-4h,所以9+h2=(21-4h)2, 所以5h2-56h+144=(h-4)(5h-36)=0, 所以h=4或h=365, 当h=365时,21-4h<0,所以h=4m, 所以仓库的容积为 13π×32×4+π×32×8=84πm2. 答:仓库的容积是84πm2. (2)设PO1为xm,圆柱的底面圆的半径为rm. 仓库的容积V=13×π×r2×x+π×r2×2x =73πr2x=73π(-x3+36x),x∈(0,6), 设f(x)=-x3+36x,x∈(0,6), 令f′(x)=-3x2+36=0得:x=23, x(0,23)23(23,6) f′(x)+0- f(x)↗极大值↘ 所以x=23m时,仓库的容积V取得极大值,也是最大值. 答:当PO1为23m时,仓库的容积最大. 18.(1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆过点P(2,0),且两准线间的距离为833, 所以a=2,2×a2c=833, 所以a=2,c=3,b=a2-c2=1, 所以椭圆的方程为x24+y2=1. (2)①设M(x1,y1),N(x2,y2), 因为直线l的斜率为12,所以直线l的方程为 y=12x+12, 由x24+y2=1y=12x+12得:2x2+2x-3=0, 所以x1=-1-72,x2=-1+72, 由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1得:(y1-1x1-y2+1x2)x=-2, 所以x=2x1x2x1(y2+1)-x2(y1-1) =2x1x2x1(x22+32)-x2(x12-12) =4x1x23x1+x2=27-4, y=y1-1x1(27-4)+1=x1-12x1(27-4)+1=2. 点T的坐标为(27-4,2). ②由x24+y2=1y=kx+12得:(1+4k2)x2+4kx-3=0, 所以x1+x2=-4k1+4k2,x1x2=-31+4k2, 由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1 得: [x1(y2+1)-x2(y1-1)]y =[x2(y1-1)+x1(y2+1)], 所以y=[x2(y1-1)+x1(y2+1)][x1(y2+1)-x2(y1-1)] =x1y2+x2y1-x2+x1x1y2-x2y1+x2+x1, x1(kx2+12)+x2(kx1+12)-x2+x1x1(kx2+12)-x2(kx1+12)+x2+x1=4kx1x2+3x1-x23x1+x2 =4kx1x2-3(x1+x2)+6x1+2x23x1+x2 =4k-31+4k2-3-4k1+4k2+6x1+2x23x1+x2=2, 所以点T在直线y=2上. 19.(1)因为A={x|g(x)≤9,x∈[a,+∞)}≠, 所以函数g(x)=x2+(a+2)x+a的最小值小于等于9. 1°当a≥-23时,函数g(x)的对称轴为-a+22≤a, 所以g(x)min=g(a)=2a2+3a≤9,所以-3≤a≤32, 因为a≥-23,所以-23≤a≤32. 2°a<-23时,函数g(x)的对称轴为-a+22>a, 所以g(x)min=-a2-44≤9恒成立,所以a<-23. 综上:实数a的取值范围为(-∞,32] (2)f′(x)=-x2-ax+2ex, 设h(x)=-x2-ax+2,因为Δ=a2+8>0, 所以函数h(x)有两个不同的零点,不妨设x1,x2且x1 x1+x2=-a,x1x2=-2. 当x∈(-∞,x1)时,h(x)<0,函数f(x)为单调减函数, 当x∈(x1,x2)时,h(x)>0,函数f(x)为单调增函数, 当x∈(x2,+∞)时,h(x)<0,函数f(x)为单调减函数, 所以当x=x1时,函数f(x)取得极小值,当x=x2时,函数f(x)取得极大值, 所以MN=f(x2)f(x1)=x22+(a+2)x2+ax21+(a+2)x1+aex1-x2 =2x2+a+22x1+a+2ex1-x2(*) 将x1+x2=-a代入(*)得: MN=x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2, 设t=x1-x2=-(x1-x2)2 =-a2+8≤-22, 所以x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2=2-tt+2et, 设Q(t)=2-tt+2et,t≤-22, Q′(t)=-t2et(t+2)2<0,所以函數Q(t)在(-∞,22]上为单调减函数, -(3+22)e-22≤Q(t)<0, 综上:MN的取值范围为[-(3+22)e-22,0). 20.(1)①设数列{an}的公差为d, 因为a4,a14,a9成等比数列, 所以(-2+4d)2=(-2-6d)(-2-d), 所以d2-3d=0,因为d≠0,所以d=3, 所以an=a10+(n-10)d=3n-32. ②当1≤n≤10时,an<0,当n≥11时,an>0, 因为bn=an·an+1·an+2, 所以当1≤n≤8时,bn<0,当n≥11时,bn>0, b9>0,b10<0,所以S1>S2>…>S8 所以Sn的最小值为S8或S10. 因为S10-S8=b9+b10=a10a11(a9+a12), 又因为a10<0,a11>0,a9+a12=-1<0, 所以S10-S8>0, 所以当n=8时,Sn取最小值. (2)cn=an+1an+2-a2n =(an+13)(an+23)-a2n=an+29. 若存在正整数p,q,使得ap+cq是整数, 则ap+cq=a1+(p-1)×13+a1+(q-1)×13+29=2a1+p+q-23+29∈Z, 设m=2a1+p+q-23+29,m∈Z, 所以18a1=3(3m-p-q+1)+1是一个整数, 所以|18a1|≥1,从而|a1|≥118, 又当a1=118时,有a1+c3=1∈Z. 综上:|a1|的最小值为118. 附加题 21.解:设直线l上任意一点(x0,y0)在矩阵M变换作用下变为(x,y), 所以2013x0y0=xy,得:2x0=xx0+3y0=y. 因为ax+by-2=0, 所以(2a+b)x0+3by0-2=0(*) (x0,y0)为直线l上任意一点,所以(*)与2x0-2y0-2=0为同一方程, 所以2a+b=23b=-2,所以a=43,b=-23. 22.(1)因为曲线C的极坐标方程是 ρ2=4cos2θ+3sin2θ, 所以ρ2(cos2θ+3sin2θ)=ρ2(cos2θ-sin2θ+3sin2θ)=ρ2(cos2θ+2sin2θ), 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以x2+2y2=4, 所以曲线C的直角坐标方程为x24+y22=1. (2)因为直线l过点(2,0),且倾斜角为60°, 所以直线l的直角坐标方程为y=3x-23, 将直线l与曲线C联立方程组y=3x-23x24+y22=1, 得:7x2-24x+20=(7x-10)(x-2)=0, 所以x=2或x=107, 所以直线l与曲线C的交点为(2,0),(107,-437), 所以直线l被曲线C截得的线段长为(107-2)2+(-437)2=87. 23.(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(1,0), 所以p2=1,即p=2, 抛物线C的方程为y2=4x. (2)设△ABD的面积为S1,△ABC的面积为S2, 因为∠AFD+∠BFD=180°,∠AFC+∠BFC=180°, 所以 S1S2=12×AF×DF×sin∠AFD+12×BF×DF×sin∠BFD12×AF×CF×sin∠AFC+12×BF×CF×sin∠BFC =DFCF=4, FD=4CF,设C(x1,y1),D(x2,y2), 所以x2-1=4(1-x1)y2=-4y1y21=4x1y22=4x2, 得:4y21=5-4x1y21=4x1, 所以5-4x1=16x1,所以x1=14,y1=±1, 所以直线l2的方程为4x+3y-4=0或4x-3y-4=0. 24.(1)因为1+4=2+3,1+5=2+4,1+6=2+5, 1+6=3+4,2+5=3+4,2+6=3+5, 3+6=4+5,所以f(6)=7;同理:f(7)=13. (2)1°当n≥4的偶数时,和a+d=b+c=s可以取以下值:5,6,…,n+1,…,2n-3,在s取定后,相應的两个最小的加数取值分别有: C22,C22,C23,C23,…,C2n2-1,C2n2-1,C2n2,C2n2-1,C2n2-1,…,C22,C22种取法, 因此,共有4(C22+C23+…+C2n2-1)+C2n2=4C3n2+C2n2=n(n-2)(2n-5)24种取法. 2°当n≥4的奇数时,和a+d=b+c=t可以取以下值:5,6,…,n+1,…,2n-3,在s取定后,相应的两个最小的加数取值分别有: C22,C22,C23,C23,…,C2n-12,C2n-12,C2n-12,…,C22,C22种取法, 因此,共有4(C22+C23+…+C2n-12)-C2n-12=4C3n+12-C2n-12=(2n-1)(n-1)(n-3)24种取法. 综上所述:f(n)=n(n-2)(2n-5)24,n=2k+2,(2n-1)(n-1)(n-3)24,n=2k+3(k∈N*). |
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