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标题	关于交变电流有效值的几个问题
范文	周正阳 高中物理教材人教版选修3-2第五章介绍了交变电流.对于高中学生来讲对恒定电流比较熟悉，因为初中里涉及到的基本都是恒定电流的题目，对交变电流了解的并不多，特别是交变电流的有效值问题，笔者想就此问题做一陈述. 交变电流在生活和生产中有广泛的应用，电流、电压随时间做周期性变化的的电流叫做交变电流，方向不随时间变化的电流称为直流电，与直流电相比，交变电流强调更多的是电流方向随时间做周期性变化，由于交变电流比恒定电流要复杂得多，所以描述交变电流的物理量有周期、频率、瞬时值、峰值、有效值、平均值等.其中一个比较重要的物理量是有效值，新教材引入有效值的概念的思路与过去的教科书基本相同，而引入的方式略有不同.新教材通过“思考与讨论”的栏目，设计一个让学生自主研究交变电流通过电阻时产生热量的问题情景，为新概念的引入做了很好的铺垫.由于交变电流的大小和方向随时间变化，它产生的效果也随时间变化，但在处理实际问题中，常常只要知道它的平均效果就可以了，例如：流过电灯的交变电流不断变化，为什么看不出灯光会一亮一暗？这是由于电流变化太快，而人眼有视觉暂留的缘故.当电流变小时，灯丝还来不及变冷，电流又变大了，所以灯丝总是热的.也就是说，灯丝的亮度是电功率随时间变化的平均效果. 1 交变电流的有效值 我们可以从交变电流的热效应考虑，某个交变电流和多大的恒定电流相当，由此引入有效值的概念.我们可以让某个交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在一个周期内交变电流产生的热效应与相等时间内恒定电流产生的热效应相同，就可以用恒定电流的电压和电流来表示交变电流的电压和电流的平均效果.在交变电流中有实际意义的往往不是瞬时功率，而是它在一个周期内的平均效果，则在形式上写成与直流电路功率相同的公式：P=UI，I和U就是交变电流的有效值，有效值的实际意义也正是基于有效值与平均功率的如此密切的关系.特别值得注意的是，以前的教科书只是提到在相等时间内两者产生的热量相等.新的教科书第一次明确提出了用一个周期的时间来定义有效值，这样使有效值的概念更加准确.下面用两个具体例子来说明如何求解交变电流的有效值. 例1 如例1图所示为一交变电流的i-t图象，该交变电流的有效值为多少？ 规范思维 （1）计算有效值一般取交变电流的一个周期；（2）不要盲目套用公式，2倍关系只适用于正弦式交流电. 例2 两个完全相同的电热器，分别通过如图a和b所示的电流最大值相等的方波交变电流和正弦交变电流，则这两个电热器的电功率之比Pa∶Pb等于多少？ 解析 有效值与最大值关系I=I2是仅对正弦交变电流适用，即对于b图才有Ib=I2，Pb=I2bR=12I2mR，对于a图的方波交变电流来说，由于每时刻通过电阻R的电流都是Im，只是方向做周期性变化，而对于电流通过电阻发热来说，它与电流方向是没有关系的.因此从热效应来说，图（a）交变电流与电流是Im的恒定电流是等效的，也可以说a图交变电流有效值就是Im.因此Ia=Im，Pa=I2aR=I2mR.所以 Pa∶Pb =1∶12=2∶1. 2 正弦式交变电流有效值与峰值的关系 在例题2中提到了交变电流的最大值，书本上称之为“峰值”，教科书上是如此描述的：交变电流的峰值Im或Um是它能达到的最大数值，可以用来表示电流的强弱或电压的高低.例如，把电容器接在交变电路中，就需要知道电压的峰值.电容器所能承受的电压要高于交变电流的峰值，否则电容器就会被击穿.从这句话中我们能知道电容器的击穿电压是指交变电流的峰值.我们日常生活中遇到的交变电流有：正弦式交变电流、锯齿形交变电流、矩形交变电流等，其中最常见的正弦式交变电流，书本上只有这么一句话：理论计算证明，正弦式交变电流的有效值与峰值是2倍关系，没有具体的描述，下面想通过三种方法来说明正弦式交变电流的有效值与峰值是2倍关系. 2.1 利用微积分的方法 如果交变电流经过一个阻值不变的电阻R，在一个周期内消耗的电能和一恒定电流经过同一电阻消耗的电能相等，则此恒定电流I的大小就是交变电流i的有效值.它们的关系是 也就是说，交变电流的有效值等于这个电流在一个周期内的平方根值，这个关系适合于一个周期内平均值不为零的周期性电流.同理交变电压有效值 交变电流在电阻R上瞬间消耗的瞬时功率P， 通常有意义的不是瞬时功率，而是平均功率.平均功率是瞬时功率在一个周期T内的平均值 对于正弦式交变电流I（t）=Imsinωt，在纯电阻电路中，u（t）与i（t）同相，无相位差，u（t）=Umsinωt，在一个周期T内的平均功率为 在纯电阻电路中，u（t）、i（t）相位一致，因而任何时刻输入电阻的瞬时功率P（t）都是正的，这些电能全部转化为焦耳热，这和恒定电流是相同的.对于恒定电流I有P=UI=I2R，两者一比较，我们可以得出I=Im2，同理可以得出U=Um2.这就是正弦式交变电流的有效值与峰值是2倍关系.这个推导要借助微积分思想，这对于一个高二学生来讲可能有点困难，下面介绍第二种方法. 2.2 利用初等函数来推导 由于正弦式交变电流波形是对称的，在每一个t2-t1=T4内，当t1=kT4，（k=0、1、2、…）时，电流的有效值与一个周期内的有效值是相同的；对其定性分析，高中生是不难理解的.所以，我们下面就通过“T4”时间的电流有效值来确定一个周期内的交变电流的有效值.如图3，把T4时间分为n等分，每等分时间间隔为Δt，则 下面我再介绍一种更简单的方法. 2.3 利用简单三角函数推导 将两个最大值、周期相同的正弦和余弦交变电流分别通过相同阻值的电阻R，在图4中的电流在0-T4时间内R上产生的热量和图5中的电流在3T4-T时间内R上产生的热量相等.在图4中的电流在T4-T2时间内R上产生的热量和图5中的电流在0-T4时间内R上产生的热量相等.在图4中的电流在T2-T时间内R上产生的热量和图5中的电流在T4-3T4时间内R上产生的热量相等.所以，在一个周期T内两个交变电流分别通过相同电阻R产生的热量Q1和Q2相等，它们具有相同的有效值I. 这个方法利用了正弦和余弦交变电流分别通过相同阻值的电阻R上的瞬时功率之和为一个定值，进一步求出它们在一个周期T内在电阻R上的热量之和，回避了用抽象的平均功率求解，更便于学生掌握之. 3 正弦式交变电流整流后的有效值和平均值的关系 在中学物理题中有一些习题涉及交变电流整流后的功率或者发热问题.这类问题往往因为没有正确理解有效值和平均值而出现错误.先看正弦交变电流全波整流后，其图形如图6甲所示，电流的平方i2（t）图象如图6乙所示.全波整流后，电流的方均根值应与整流前相同，所以I=Im2仍然适用.但经半波整流后，波形如图6丙所示，由于每个周期内，都有半个周期电流为零.故一个周期内电流的有效值 可见半波整流后的有效值为整流前的12倍，而平均值为整流前（半周的平均值）的一半.
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