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标题 一种非饱和土相对渗透系数的试验数值联合估计法
范文 赵晓龙　邱秀梅　卞汉兵　邱庆泰



摘要：由于非饱和土相对渗透系数对饱和度的变化十分敏感，因此通过试验测定非饱和土相对渗透系数并不容易。以广义达西定律和van Genuchten模型为理论依据，可通过简单的蒸发试验和数值分析，获得非饱和状态下土壤的相对渗透系数。模拟结果和试验数据的对比分析表明，该方法得到的非饱和土相对渗透系数具有一定的可靠性，在有限元反分析模型参数方面具有一定的创新性，但其实际精度还有待通过试验对比来进一步验证。
关键词：非饱和土；饱和度；蒸发试验；数值分析；相对渗透系数
中图分类号：TU43 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2015）06-1114-04
Abstract：The relative hydraulic conductivity of unsaturated soil is sensitive to the change of saturation，so it is hard to determine the relative hydraulic conductivity through experiments.Based on the generalized Darcy′s Law and van Genuchten′s model，a simplified numerical model for predicting the relative hydraulic conductivity of unsaturated soil was derived.Through the simple evaporation experiment and numerical analysis，the relative hydraulic conductivity with function of water saturation was obtained.The numerical results were compared with the observed experimental data，which suggested that this method has certain reliability and it has certain innovation in the aspects of the finite element back analysis of model parameters.However，the practical accuracy of the new method needs further verification through experimental comparison.
Key words：unsaturated soil；saturation；evaporation experiment；numerical analysis；relative hydraulic conductivity
土的渗透系数及相对渗透系数是土的主要特性指标之一，是描述孔隙水在土壤孔隙中流动性质一种度量[1]，是反映水在非饱和土壤孔隙中迁移的重要参数，在雨水引起的边坡稳定性、路基变形、土石坝黏土心墙渗流控制、岩土工程施工、农业土壤环境研究中起着重要的作用，因此是国内外非饱和土研究中的一个重要课题。
对于饱和土来说，其渗透系数认为是孔隙比的函数[2]，在分析问题时一般假定其为常数；而对于非饱和土，其渗透系数同时受到孔隙比和饱和度变化的强烈影响。土壤固结以后或者在干燥失水过程中，孔隙比变化可能很小，它对渗透系数的影响是次要的，但饱和度变化的影响则是十分重大的。即便是在接近饱和的状态下（吸力介于0～1 kPa），基质吸力的微小变化也将引起相对渗透系数1～3个数量级的改变[3]。饱和度通常描述为基质吸力的函数，其相互关系为基质吸力与饱和度关系曲线。用基质吸力与饱和度关系曲线或土壤水分特征曲线（SWCC），可以推导出许多预测渗透系数的模型，如Brooks and Corey[4]，Campbell[5]，van Genuchten[6]。在这其中，van Genuchten模型无疑是应用最广泛的模型[7]。van Genuchten在Mualem模型[8]的基础上，通过参数变换，推导出能够预测渗透系数的闭合方程。通过van Genuchten模型可以明确地描述多种土样的土壤水分特征曲线（SWCC），这些土样包括扰动土和非扰动土[9]，粘土和壤土[6]，甚至是泥炭土[10]。模型模拟结果的可靠度很大程度上取决于参数的准确度（Loague and Green[11]；Jarvis et al.[12]）。
通过试验直接测量土壤的相对渗透系数不仅耗时，而且需要特殊的设备[13]。另外试验测得的结果只是针对特定的几个饱和度下的相对渗透系数，需要通过曲线拟合才能运用到土工计算中。间接测定方法，如土壤转换函数法[14]、物理经验法[15]，是目前比较常用的方法[16]，但这些方法通常需要大量的土壤数据。针对现有技术中存在的局限性，本文以达西定律[1]和van Genuchten模型[6]为理论依据，提出了一种非饱和土相对渗透系数的试验-数值分析联合测定法。该方法包括简单的蒸发试验和数值分析，通过对试验曲线进行拟合分析，获得非饱和状态下土壤的相对渗透系数。本方法中涉及的数值分析程序是笔者根据理论推导，并结合实际试验编写的，其适用对象主要是渗透系数较小的粘性土。对于粘性土，无论是其渗透系数还是相对渗透系数，测定时间都相当漫长，而且相对渗透系数的测定在技术上则更加困难，因此，本方法对科研、生产具有一定的实用价值。
1 理论依据
为了简化公式，本理论推导采用了几个公认的假定条件：（1）土样中的温度是恒定的；（2）土样中水分迁移的动力是基质吸力梯度；（3）渗透系数是饱和度的函数。
2 试验部分
试验部分主要是利用放置有饱和盐溶液的干燥器对非饱和土样进行蒸发试验，观测非饱和土样的失水过程，得到土样失水质量-时间变化（M-t）曲线及其蒸发过程中的环境温度T（℃）和湿度值RH（%）。具体说明如下。
蒸发装置（图1）由一个干燥器构成，里面分为上下两个通过多孔陶瓷隔板分隔/连通的腔室，其中下腔室放置饱和盐溶液如氯化镁，用以控制干燥器内部的相对湿度，上腔室用于放置高精度电子秤和高精度温度湿度计。试验时将整个干燥器放置于恒温箱内，以保证试验过程温度的恒定。高精度电子秤精度为0.01 g，用于称量土样质量。高精度温度湿度计用于测量干燥器内部的温度和湿度。带有环刀的重塑非饱和土样放置在高精度电子秤的称量盘上。试验时配备电子表一只，用于记录试件的干燥时间，在土样出现裂缝后停止试验。
试验前将需要的饱和盐溶液配好，然后倒入干燥器的下腔体内，确保一部分固体盐存在。将高精度电子秤和高精度温度湿度计放到干燥器内的多孔陶瓷板上，然后把干燥器顶盖盖好，顶盖与主体接触部分为涂有凡士林的磨砂玻璃。静置一段时间，直到干燥器内的温度湿度计显示其内部环境达到湿度平衡。
将制备的环刀土样放置到干燥器内。土样的左右两个表面暴露在干燥器的空气中，水分可以自由出入土样，而土样与不锈钢环刀的接触面，则认为水分不能自由出入土样。不锈钢环刀直径为61.8 mm，高度为20 mm。试验过程中控制干燥器内部的温度和湿度为恒定值，具体温度值T（℃）和湿度值RH（%）通过干燥器内部的高精度温度湿度计来测定。通过电子表和高精度电子秤来记录环刀土样随时间的质量变化曲线。
3 有限元数值模型建立
在已建立土样蒸发过程基本控制方程基础上，建立有限元数值模型。根据试验装置，在建模时即认为土样中的水分只能从左右侧面出入，而不能从土样与环刀的上下接触面自由出入。空间上使用一维有限元方法进行离散，时间上采用一阶隐式离散。为了便于说明，图2只绘出土样沿直径的一个矩形截面（A-A剖面），其左右两边为土样散失水分的侧面（即图2中土样与空气接触界面14），而上下两边为土样与环刀的接触面15。
整个模型为一个圆柱体，划分的单元为这个圆柱体上一片片圆形面单元。在实际建模时，为便于计算，将三维模型简化为二维模型，仅取圆柱体沿直径的剖面，划分的单元则为一条条的线单元，计算域被离散成400个线单元。
在建立的有限元模型中，忽略了体力的影响。为了模拟土样在干燥过程中基质吸力的变化，需要将对应饱和盐溶液的基质吸力添加到模型的两端。在试验初期，土样侧面两端的基质吸力梯度最大，水分散失较快。为了准确描述这一变化过程，需要将土样的侧面两端划分较多的单元，而土样的中间部分单元则可以划分较大些。为了保证计算的收敛性和计算精度，确保准确描述单元加载初期土样中的水压力梯度，计算模型中单元之间的距离是渐变的，土样A-A剖面左右两端单元间距最小，在程序中将土样左右两端单元最小间距设定为1×10-13m。土样内部相邻单元的间距则是呈固定比例的，这个比例可由程序根据给定试验土样尺寸和给定的单元数目自动算出。
在本方法的试验中，模型边界条件为Dirichlet边界条件，根据给定的相对湿度和温度，通过Kelvin方程可以得到试样两端的基质吸力为
Pc=RTρwMwln（RH）（10）
式中：R为理想气体常数；T为绝对温度；ρw为水的密度；RH为干燥器中的相对湿度（%）；Mw为水蒸气的莫尔质量。
通过该边界条件，可以求得任意时刻的基质吸力分布，通过方程（7）可以得到试样内部的水饱和度分布。再根据方程（5）可以得该时刻试样的含水体积。
4 数值分析程序编写
数值分析程序包括基本分析和优化反分析两大基本模块。
基本分析模块是根据已建立的土样蒸发过程基本控制方程及有限元数值模型，将已输入的土样基本参数、试验曲线和优化反分析模块给出的基本参数Pr和m代入进行运算，模拟出土样的失水质量-时间曲线、饱和度分布情况和土样的相对渗透系数。
优化反分析模块是通过正交优化方法确定两个基本参数Pr和m的数值，然后调用基本分析模块，得到给定参数下的试样失水曲线，再通过对比试验和数值分析结果调整Pr和m，直到两者之间的方差为最小，得到最终优化后的参数Pr和m，最后根据方程（8）得到非饱和状态下土样的渗透系数。优化反分析模块实际是对基本分析模块分析出的结果进行优化再运算的过程，其间仍需要不断地调用基本分析模块，对比输出的结果，直到其数值分析结果和试验结果之间的方差最小，即达到最优。这时即可认为数值曲线可以准确地模拟试验曲线，在此曲线下确定的Pr和m值即为所求值，然后将Pr和m值代入方程（8）通过基本分析模块运算即可得到非饱和状态下土样在不同饱和度下的相对渗透系数kr。源程序用Fortran语言编写（文中略），其主要流程见图3。
图4为土样内部三个时刻基质吸力分布图。从图4中可以看出，随着时间的增长，同一位置的基质吸力是增大的；而同一时刻，土样两侧的基质吸力大，中间几乎为零。这是符合理论和常识认识的，因为基质吸力与土样的饱和度存在一定的关系（见辅助方程（7）），即土样饱和度越小，基质吸力越大。在试验初期，土样的两侧先变干，而土样中间水分基本没有损失，所以图4中两侧的基质吸力很大，而中央则几乎为零；随着时间的增长，土样失去的水分越来越多，饱和度越来越低，所以同一位置基质吸力有增大的趋势。正是由于土样中存在着这种基质吸力梯度，导致了土样内水分不断地向两侧迁移。
图5是土样内部三个时刻饱和度分布图。从图5中可以看出，18 h后，土样两侧的饱和度几乎为0，而中间的饱和度在90%左右。这表明在18 h后，土样两侧表面几乎变干，而中间则仍保有大量孔隙水。随着时间的增长，土样的水分散失由两侧逐步向中间延伸，表现为图5中曲线逐步往中间缩小。
图6是试验数据点的拟合曲线。从图中可以看出，经过优化反分析模块处理，调整参数Pr和m后绘出的曲线很好地拟合了试验中的数据点。因此，根据本理论建立的模型较为理想，由此通过数值模拟推算出的非饱和土的相对渗透系数具有相当的可靠性。
图7是土样相对渗透系数及饱和度变化曲线。该图反映了两组变量之间的关系，一组是饱和度与基质吸力之间的关系，另一组是相对渗透系数与基质吸力之间的关系（两者之间通过饱和度建立起联系）。这两组图线的理论依据即为根据van Genuchten理论建立的辅助方程（7）和方程（8）。从图中可以看到，随着基质吸力增大，饱和度和相对渗透系数都减小了，且两者都呈现出非线性的关系，同时也可以看出，一定的饱和度值对应一定的相对渗透系数值。在土样接近饱和时，其渗透系数曲线的斜率非常陡，微小的基质吸力的变化就会导致相对渗透系数的剧烈改变。从图7中可得到该土样在某饱和度下的相对渗透系数值。
6 结语
邵明安[17]曾经总结过求非饱和土渗透系数的四种方法，并进行了比较。当时蒸发试验的理论方法仅仅是在达西定律的基础上进行的推导，并且数值计算中采用近似和舍入误差导致其准确度偏低，其计算程序参见文献[18]。本文则在理论方法上同时结合了达西定律和水分运动基本方程，并运用van Genuchten模型对试验数据曲线进行拟合模拟，使其计算精确度大大提高，且试验耗时短，不需要昂贵的设备，具有实用性和创新性。Shao[19]提出的积分方法，假定了土壤水势分布可以用麦克劳林函数描述，计算模型参数需要湿润长度、吸水率、土样饱和渗透系数等试验数据，而本方法所需试验数据更易测量，假定也更少，通过数值反分析手段求得最优模型参数。但本方法的实际计算精度，还有待通过其他试验结果的对比分析来进一步验证。
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